É comum que precisemos estimar o comportamento de uma grandeza a partir de medições esparsas. Uma estratégia simples é ajustar um polinômio que passe exatamente pelos pontos medidos. Para um polinômio de grau 2,
p(x)=a x^{2}+b x+c
os coeficientes a, b e c são desconhecidos. Impor que p(x) passe por três pontos medidos \left(x_{i}, y_{i}\right) fornece, para cada ponto, uma equação linear em a, b e c e assim o sistema resultante é 3 \times 3.
(31) Um sensor de temperatura registrou os valores T=5{ }^{\circ} \mathrm{C} no instante t=0 \mathrm{~s}, T=11^{\circ} \mathrm{C} em t=1 \mathrm{~s} e T=23{ }^{\circ} \mathrm{C} em t=2 \mathrm{~s}. Ajuste um polinômio p(t)=a t^{2}+b t+c a esses dados resolvendo o sistema:
e estime a temperatura no instante t=1,5 \mathrm{~s}.
Passo 1
O enunciado pede que ajustemos um polinômio quadrático p(t)=a t^{2}+b t+c que passe exatamente pelos três pontos medidos e, em seguida, que estimemos a temperatura no instante t=1,5\\ \mathrm{s}.
Informações dadas (cada par (t,T) é um ponto que o polinômio deve passar):
(0,\,5),\qquad (1,\,11),\qquad (2,\,23).
Da imposição “passar pelos pontos” obtemos o sistema linear em (a,b,c) fornecido no enunciado:
\left\{\begin{aligned} c &=5,\\[4pt] a+b+c &=11,\\[4pt] 4a+2b+c &=23. \end{aligned}\right.
O que se pede:
Determinar a, b e c que satisfazem o sistema (ou seja, achar o polinômio p).
Calcular p(1,5) para estimar a temperatura em t=1,5\\ \mathrm{s}.]
Passo 2
Explicação didática sobre as incógnitas e a ideia de solução:
a, b e c são os coeficientes do polinômio p(t)=a t^{2}+b t+c. Eles são números desconhecidos que vamos determinar usando as três equações.
Com três equações lineares em três incógnitas podemos resolver por substituição ou eliminação (métodos simples e rápidos sem calculadora). Aqui usamos substituição porque a primeira equação já dá c diretamente.
Substituir significa pegar o valor de uma incógnita conhecido (aqui c) e inserir nas outras equações para reduzir o número de incógnitas.
Aplicando isso: da primeira equação já temos
c=5.
Passo 3
Substitui-se c=5 nas outras duas equações para obter um sistema em a e b apenas.