É comum que precisemos estimar o comportamento de uma grandeza a partir de medições esparsas. Uma estratégia simples é ajustar um polinômio que passe exatamente pelos pontos medidos. Para um polinômio de grau 2,
p(x)=a x^{2}+b x+c
os coeficientes a, b e c são desconhecidos. Impor que p(x) passe por três pontos medidos \left(x_{i}, y_{i}\right) fornece, para cada ponto, uma equação linear em a, b e c e assim o sistema resultante é 3 \times 3.
(31) Um sensor de temperatura registrou os valores T=5{ }^{\circ} \mathrm{C} no instante t=0 \mathrm{~s}, T=11^{\circ} \mathrm{C} em t=1 \mathrm{~s} e T=23{ }^{\circ} \mathrm{C} em t=2 \mathrm{~s}. Ajuste um polinômio p(t)=a t^{2}+b t+c a esses dados resolvendo o sistema:
\left\{\begin{aligned} c & =5 \\\ a+b+c & =11 \\\\ 4 a+2 b+c & =23 \end{aligned}\right.
e estime a temperatura no instante t=1,5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede que ajustemos um polinômio quadrático p(t)=a t^{2}+b t+c que passe exatamente pelos três pontos medidos e, em seguida, que estimemos a temperatura no instante t=1,5\\ \mathrm{s}.
Informações dadas (cada par (t,T) é um ponto que o polinômio deve passar):
(0,\,5),\qquad (1,\,11),\qquad (2,\,23).
Da imposição “passar pelos pontos” obtemos o sistema linear em (a,b,c) fornecido no enunciado:
\left\{\begin{aligned} c &=5,\\[4pt] a+b+c &=11,\\[4pt] 4a+2b+c &=23. \end{aligned}\right.
O que se pede:
  • Determinar a, b e c que satisfazem o sistema (ou seja, achar o polinômio p).
  • Calcular p(1,5) para estimar a temperatura em t=1,5\\ \mathrm{s}.]

Passo 2

Explicação didática sobre as incógnitas e a ideia de solução:
  • a, b e c são os coeficientes do polinômio p(t)=a t^{2}+b t+c. Eles são números desconhecidos que vamos determinar usando as três equações.
  • Com três equações lineares em três incógnitas podemos resolver por substituição ou eliminação (métodos simples e rápidos sem calculadora). Aqui usamos substituição porque a primeira equação já dá c diretamente.
  • Substituir significa pegar o valor de uma incógnita conhecido (aqui c) e inserir nas outras equações para reduzir o número de incógnitas.
Aplicando isso: da primeira equação já temos
c=5.

Passo 3

Substitui-se c=5 nas outras duas equações para obter um sistema em a e b apenas.
Segunda equação:
a+b+c=11 \quad\Rightarrow\quad a+b+5=11 \quad\Rightarrow\quad a+b=6.
Terceira equação:
4a+2b+c=23 \quad\Rightarrow\quad 4a+2b+5=23 \quad\Rightarrow\quad 4a+2b=18.
Podemos simplificar a terceira dividindo por 2 (isso é válido porque 2\neq0):
2a+b=9.
Agora temos o sistema linear de duas equações:
\begin{cases} a+b=6,\\[4pt] 2a+b=9. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema de duas equações em duas incógnitas por eliminação simples:
Subtraindo a primeira equação da segunda (ou seja, (2a+b)-(a+b)) para eliminar b:
(2a+b)-(a+b)=9-6 \quad\Rightarrow\quad a=3.
Com a=3, voltamos em a+b=6 para achar b:
3+b=6 \quad\Rightarrow\quad b=3.
Resumo dos coeficientes encontrados:
a=3,\qquad b=3,\qquad c=5.

Passo 5

Formamos o polinômio ajustado com os coeficientes determinados:
p(t)=3t^{2}+3t+5.
Verificação rápida (checar que o polinômio reproduz os dados dados):
  • Para t=0: p(0)=3\cdot0^{2}+3\cdot0+5=5 (confere).
  • Para t=1: p(1)=3\cdot1+3\cdot1+5=3+3+5=11 (confere).
  • Para t=2: p(2)=3\cdot4+3\cdot2+5=12+6+5=23 (confere).
Isso mostra que o polinômio encontrado realmente passa pelos três pontos medidos.

Passo 6

Agora estimamos a temperatura em t=1,5\\ \mathrm{s} calculando p(1,5). Fazer contas passo a passo sem pular etapas:
Calcule (1,5)^{2}:
(1,5)^{2}=1,5\times1,5=2,25.
Multiplicações:
3\cdot(1,5)^{2}=3\cdot2,25=6,75, \qquad 3\cdot1,5=4,5.
Somando todas as parcelas do polinômio:
p(1,5)=3(1,5)^{2}+3(1,5)+5=6,75+4,5+5=16,25.
Portanto a estimativa da temperatura no instante t=1,5\\ \mathrm{s} é \,16,25^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T(1,5\\ \mathrm{s})=16,25^\circ\mathrm{C}

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