Em computação gráfica e robótica, transformações como rotação e escala são representadas por matrizes: aplicar a transformação a um ponto \mathbf{P} corresponde a calcular P^{\prime}=T P. Para desfazer a transformação, isto é, recuperar o ponto original a partir do transformado, basta calcular P=T^{-1} P^{\prime}.
(30) Um programa de edição de imagens aplica a uma figura a transformação representada pela matriz:
T=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 5 & 3 \end{array}\right]
que combina escala e cisalhamento no plano. Após a transformação, três vértices de um triângulo, originalmente desconhecidos, ocupam as posições:
P_{1}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} 5 \\\\ 13 \end{array}\right], \quad P_{2}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} 7 \\\\ 19 \end{array}\right], \quad P_{3}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} 4 \\\\ 11 \end{array}\right]
Calcule T^{-1} e recupere as posições originais P_{1}, P_{2} e P_{3} dos vértices do triângulo calculando P_{i}=T^{-1} P_{i}^{\prime} para cada i.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de transformação e os três vértices transformados. Escrevo-os aqui (peguei exatamente estes dados do enunciado):
T=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ 5 & 3 \end{array}\right]
P_{1}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} 5 \\\\ 13 \end{array}\right],\qquad P_{2}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} 7 \\\\ 19 \end{array}\right],\qquad P_{3}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} 4 \\\\ 11 \end{array}\right]
O que o problema pede:
  • Calcular T^{-1}.
  • Recuperar os pontos originais P_{i} calculando P_{i}=T^{-1}P_{i}^{\prime} para i=1,2,3.

Passo 2

Vou explicar como achar a inversa de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\\ c & d \end{array}\right],
o determinante é \det(A)=ad-bc. Se \det(A)\neq0, a inversa existe e vale
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\\\ -c & a \end{array}\right].
Explicação rápida e didática: o determinante \det(A) mede, no caso 2\times2, quanto a transformação altera áreas e também indica se a transformação é reversível. A fórmula da inversa troca a e d, troca de sinal em b e c, e multiplica por 1/\det(A) para ajustar a escala — é a forma prática derivada da adjunta/adjugado dividida pelo determinante.

Passo 3

Aplico a fórmula acima a T. Primeiro calculo o determinante de T:
\det(T)=2\cdot3-1\cdot5=6-5=1.
Como \det(T)=1\neq0, a inversa existe e fica simples porque o fator 1/\det(T) é 1.
Usando a fórmula:
T^{-1}=\frac{1}{\det(T)}\left[\begin{array}{cc} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \end{array}\right].

Passo 4

Vou lembrar como multiplicar uma matriz 2\times2 por um vetor coluna 2\times1. Para
M=\left[\begin{array}{cc} m_{11} & m_{12} \\\ m_{21} & m_{22} \end{array}\right],\qquad v=\left[\begin{array}{c} x \\\ y \end{array}\right],
o produto Mv é o vetor
Mv=\left[\begin{array}{c} m_{11}x + m_{12}y \\\ m_{21}x + m_{22}y \end{array}\right].
Irei aplicar esta regra com M=T^{-1} e v=P_{i}^{\prime}.

Passo 5

Calculo P_{1}=T^{-1}P_{1}^{\prime}. Escrevo o produto e faço as contas passo a passo:
T^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \end{array}\right],\qquad P_{1}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} 5 \\\\ 13 \end{array}\right]
P_{1}=T^{-1}P_{1}^{\prime}= \left[\begin{array}{c} 3\cdot5 + (-1)\cdot13 \\\\ -5\cdot5 + 2\cdot13 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 15-13 \\\\ -25+26 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \end{array}\right].

Passo 6

Calculo P_{2}=T^{-1}P_{2}^{\prime}:
P_{2}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} 7 \\\\ 19 \end{array}\right]
P_{2}=T^{-1}P_{2}^{\prime}= \left[\begin{array}{c} 3\cdot7 + (-1)\cdot19 \\\\ -5\cdot7 + 2\cdot19 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 21-19 \\\\ -35+38 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\\\ 3 \end{array}\right].

Passo 7

Calculo P_{3}=T^{-1}P_{3}^{\prime}:
P_{3}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} 4 \\\\ 11 \end{array}\right]
P_{3}=T^{-1}P_{3}^{\prime}= \left[\begin{array}{c} 3\cdot4 + (-1)\cdot11 \\\\ -5\cdot4 + 2\cdot11 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 12-11 \\\\ -20+22 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \end{array}\right].

Passo 8

Pequena verificação mental (opcional, só para confiança): aplicar T aos pontos recuperados deve devolver os P_{i}^{\prime}. Por exemplo, T\left[\begin{smallmatrix}2\\\ 1\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}2\cdot2+1\cdot1\\\ 5\cdot2+3\cdot1\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}5\\\ 13\end{smallmatrix}\right], que confere com P_{1}^{\prime}. Isso é coerente para os outros também.

Resposta

T^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \end{array}\right]
P_{1}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \end{array}\right]
P_{2}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ 3 \end{array}\right]
P_{3}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right]

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