Em computação gráfica e robótica, transformações como rotação e escala são representadas por matrizes: aplicar a transformação a um ponto \mathbf{P} corresponde a calcular P^{\prime}=T P. Para desfazer a transformação, isto é, recuperar o ponto original a partir do transformado, basta calcular P=T^{-1} P^{\prime}.
(30) Um programa de edição de imagens aplica a uma figura a transformação representada pela matriz:
Recuperar os pontos originais P_{i} calculando P_{i}=T^{-1}P_{i}^{\prime} para i=1,2,3.
Passo 2
Vou explicar como achar a inversa de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\\ c & d \end{array}\right],
o determinante é \det(A)=ad-bc. Se \det(A)\neq0, a inversa existe e vale
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\\\ -c & a \end{array}\right].
Explicação rápida e didática: o determinante \det(A) mede, no caso 2\times2, quanto a transformação altera áreas e também indica se a transformação é reversível. A fórmula da inversa troca a e d, troca de sinal em b e c, e multiplica por 1/\det(A) para ajustar a escala — é a forma prática derivada da adjunta/adjugado dividida pelo determinante.
Passo 3
Aplico a fórmula acima a T. Primeiro calculo o determinante de T:
\det(T)=2\cdot3-1\cdot5=6-5=1.
Como \det(T)=1\neq0, a inversa existe e fica simples porque o fator 1/\det(T) é 1.
Pequena verificação mental (opcional, só para confiança): aplicar T aos pontos recuperados deve devolver os P_{i}^{\prime}. Por exemplo, T\left[\begin{smallmatrix}2\\\ 1\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}2\cdot2+1\cdot1\\\ 5\cdot2+3\cdot1\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}5\\\ 13\end{smallmatrix}\right], que confere com P_{1}^{\prime}. Isso é coerente para os outros também.