No balanço de massa para o dimensionamento de um sedimentador industrial foi obtida a seguinte equação:
\frac{F}{A}=\frac{1}{C_{a}} \frac{v}{\left(\frac{1}{C}-\frac{1}{C_{L}}\right)}
Estabelecendo que \mathrm{C}_{\mathrm{a}}, v e \mathrm{C}_{\mathrm{L}} são parâmetros constantes:
(a) explique o significado da razão de F/A e esboce um gráfico de F/A em função de “C”.
(b) calcule o ponto de mínimo e explique se fisicamente é ou não possível obter este valor.

Passo 1

O enunciado fornece a equação obtida do balanço de massa:
\frac{F}{A}=\frac{1}{C_{a}}\frac{v}{\left(\frac{1}{C}-\frac{1}{C_{L}}\right)}
e diz que \,C_{a},\,v e C_{L} são constantes. O que se pede:
(a) explicar o significado físico da razão \dfrac{F}{A} e esboçar (descrever) o gráfico de \dfrac{F}{A} em função de C;
(b) calcular o ponto de mínimo da função \dfrac{F}{A}\text{(C)} e discutir se esse valor é fisicamente possível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \dfrac{F}{A} é uma razão obtida num balanço de massa (tem unidades de fluxo por área: massa por tempo por área ou equivalente volumétrico por área, dependendo das unidades usadas).
  • C é a variável independente (concentração) cujo papel é estudado.
  • C_{a},\,v,\,C_{L} são constantes positivas (interpretação física usual: v velocidade de sedimentação, C_L concentração limite/compactação, C_a fator constante).
  • A expressão tem um denominador com \dfrac{1}{C}-\dfrac{1}{C_L}, que pode anular-se quando C=C_L — isto já indica um comportamento singular nesse ponto.

Passo 2

Interpretando fisicamente \dfrac{F}{A}.
Explicação didática:
  • Em problemas de sedimentação/clarificação, F costuma ser uma taxa de massa ou débito de sólidos (por exemplo em kg/s) e A a área transversal do sedimentador (m^2). Assim \dfrac{F}{A} representa um fluxo superficial de sólidos por unidade de área; em outras palavras, a carga de sólidos que se tenta remover por unidade de área do sedimentador por unidade de tempo. Em projeto isso é importante porque o dimensionamento (área) deve suportar esse fluxo sem perda por arraste.
  • Importante: se \dfrac{F}{A} for muito grande, partículas não conseguem assentar suficientemente rápido e o clarificador falha; se for pequeno, a área pode estar superdimensionada.
(Observação: mesmo sem saber a definição exata de F dada pelo professor, esta é a interpretação típica e suficiente para entender o comportamento matemático da expressão.)

Passo 3

Simplificar a expressão algebraicamente para estudar o comportamento em função de C.
Parto da equação dada:
\frac{F}{A}=\frac{1}{C_{a}}\frac{v}{\left(\frac{1}{C}-\frac{1}{C_{L}}\right)}.
Calculo o denominador em forma única:
\frac{1}{C}-\frac{1}{C_{L}}=\frac{C_{L}-C}{C\,C_{L}}.
Substituindo na expressão:
\frac{F}{A}=\frac{1}{C_{a}}\;v\;\frac{1}{\dfrac{C_{L}-C}{C\,C_{L}}} =\frac{1}{C_{a}}\,v\,\frac{C\,C_{L}}{C_{L}-C}.
Defino uma constante positiva
K:=\frac{v\,C_{L}}{C_{a}}>0,
portanto a função a estudar fica
\boxed{\\ \frac{F}{A}\text{(C)}=K\,\frac{C}{C_{L}-C}\\ }.
Esta forma é mais fácil para analisar limites, sinais e derivadas.

Passo 4

Análise de domínio, sinais e assíntotas (comportamento limite).
  • Denominador C_{L}-C anula-se quando C=C_{L}. Logo C=C_{L} é um ponto singulare (assíntota vertical) e a função não está definida aí.
  • Para 0<C<C_{L} (concentrações abaixo de C_{L}) temos C_{L}-C>0 e C>0, logo \dfrac{F}{A}>0. Esse é o intervalo fisicamente mais plausível (concentração menor que a concentração limite de empacotamento).
  • Para C>C_{L} a fração \dfrac{C}{C_{L}-C} é negativa (denominador negativo), portanto \dfrac{F}{A}<0. Um fluxo negativo de sólidos não é fisicamente aceitável no contexto usual — significa uma incongruência física (o modelo perde validade para C\ge C_L).
  • Limites importantes: \lim_{C\to 0^{+}}\frac{F}{A}\text{(C)}=\lim_{C\to 0^{+}}K\frac{C}{C_{L}-C}=0.
\lim_{C\to C_{L}^{-}}\frac{F}{A}\text{(C)}=+\infty\quad\text{(assíntota vertical à esquerda de }C_{L}\text{).}íà
\lim_{C\to C_{L}^{+}}\frac{F}{A}\text{(C)}=-\infty\quad\text{(assíntota vertical à direita de }C_{L}\text{).}íà
\lim_{C\to +\infty}\frac{F}{A}\text{(C)}=\lim_{C\to\infty}K\frac{C}{C_{L}-C}=-K.
Ou seja, para C\to\infty a função tende a um valor finito negativo -K.

Passo 5

Esboço do gráfico (descrição): como desenhar/esperar o gráfico de \dfrac{F}{A} versus C.
  • Para C próximo de 0: \dfrac{F}{A}\approx 0.
  • No intervalo 0<C<C_{L}: a função é positiva, cresce monotonicamente e vai para +\infty quando C se aproxima de C_{L} pela esquerda. O crescimento é cada vez mais rápido conforme C se aproxima de C_{L} (assíntota vertical).
  • Em C=C_{L}: não existe valor — assíntota vertical.
  • Para C>C_{L}: a função é negativa, sai de -\infty logo após C_{L} e sobe (isto é, aumenta) conforme C cresce, aproximando-se assintoticamente de -K por baixo.
  • Forma geral: dois ramos separados pela assíntota vertical C=C_L: ramo direito negativo que tende para -K, ramo esquerdo positivo crescendo de 0 até +\infty.
Se fosse desenhar: no eixo horizontal ponha C, marque 0 e C_L; para 0 a altura é 0; curva sobe e vira vertical em C_L; do outro lado da assíntota começa em -\infty e vai assintoticamente a -K.

Passo 6

Cálculo de derivada e busca de extremos (explicando a regra usada).
Vou usar a regra do quociente ou derivar a forma f\text{(C)}=K\,C\,(C_{L}-C)^{-1} aplicando a regra do produto + cadeia. Para ser didático, uso derivada da forma simplificada:
f\text{(C)}=K\frac{C}{C_{L}-C}.
Aplicando a regra do quociente diretamente (se f=g/h então f'=(g'h-gh')/h^2) com g\text{(C)}=K C e h\text{(C)}=C_{L}-C:
  • g'\text{(C)}=K,
  • h'\text{(C)}=-1.
Logo
f'\text{(C)}=\frac{K\cdot (C_{L}-C) - (K C)\cdot(-1)}{(C_{L}-C)^2} =\frac{K(C_{L}-C)+K C}{(C_{L}-C)^2} =\frac{K C_{L}}{(C_{L}-C)^2}.
Observações sobre f'\text{(C)}:
  • O numerador K C_{L} é positivo (constantes positivas).
  • O denominador (C_{L}-C)^2 é sempre positivo (exceto em C=C_{L}, onde a derivada não existe).
  • Portanto f'\text{(C)}>0 para todo C\neq C_{L} (onde a função está definida). Conclusão: a função é estritamente crescente em cada intervalo de definição (-\infty,C_L) e (C_L,\infty).

Passo 7

Conclusão sobre extremos e existência de mínimo.
  • Como f'\text{(C)}>0 sempre (nos intervalos válidos), não existem pontos críticos onde f'\text{(C)}=0. Logo não há extremos locais internos na região onde a função é definida.
  • No intervalo fisicamente relevante 0<C<C_{L} (concentração menor que o limite físico C_L), a função é crescente e vai de 0 até +\infty. Então o menor valor possível nesse intervalo é o limite quando C\to 0^{+}, isto é 0.
  • Matematicamente, para todo domínio real excluindo C_L, não existe um mínimo finito global: no ramo direito C>C_L a função vai de -\infty (em C\to C_L^+) até -K (em C\to\infty), então não há mínimo finito (o infimum é -\infty). Porém esse ramo corresponde a valores negativos de \dfrac{F}{A} que não fazem sentido físico no contexto de fluxo de sólidos.
  • Portanto, fisicamente, o menor valor realizável de \dfrac{F}{A} é 0, atingido no limite C\to 0^{+} (concentração nula de sólidos significa fluxo de sólidos nulo). Não há um mínimo positivo interior alcançável com 0<C<C_L.

Passo 8

Interpretação física final e resposta sobre a possibilidade prática de atingir o mínimo.
  • O mínimo físico de \dfrac{F}{A} é 0, correspondente a não haver sólidos ( C\to 0). Isso é trivial e fisicamente óbvio: sem sólidos não há fluxo de sólidos.
  • O ponto C=C_{L} é proibido porque a expressão explode (assíntota). Fisicamente C_{L} costuma representar uma concentração limite de empacotamento/compactação; não é possível operar exatamente nesse ponto no modelo (o modelo previne C atingindo C_L pois a equação indica necessidade de \dfrac{F}{A}\to\infty).
  • Valores C>C_L levariam a \dfrac{F}{A}<0 (não físico) — portanto o modelo só tem significado prático para 0<C<C_L.
  • Conclusão prática: não existe um mínimo interior não-trivial a ser usado para projeto; a operação válida exige escolher C menor que C_L e então \dfrac{F}{A} cresce quando C aumenta (ou seja, misturas mais concentradas exigem maior carga superficial admissível).

Resposta

(a) \dfrac{F}{A} é o fluxo de sólidos por unidade de área (fluxo superficial de sólidos) no sedimentador. O gráfico de \dfrac{F}{A} vs C (com K=\dfrac{vC_L}{C_a}>0) tem a forma \dfrac{F}{A}\text{(C)}=K\,\dfrac{C}{C_L-C}: para 0<C<C_L é positivo, cresce de 0 (quando C\to0^+) até +\infty (quando C\to C_L^-), há uma assíntota vertical em C=C_L; para C>C_L a função é negativa (não física), saindo de -\infty e tendendo para -K quando C\to\infty.
(b) A função não tem ponto crítico interior ( f'\text{(C)}=\dfrac{K C_L}{(C_L-C)^2}>0 para todo C\neq C_L), portanto não existe mínimo interno não-trivial. Fisicamente, no domínio válido 0<C<C_L o menor valor é o limite \dfrac{F}{A}\to0 quando C\to0^+. O valor C=C_L é impossível (assíntota) e C>C_L \dfrac{F}{A}<0, que não é fisicamente admissível.

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