No balanço de massa para o dimensionamento de um sedimentador industrial foi obtida a seguinte equação:
Estabelecendo que
, v e
são parâmetros constantes:
(a) explique o significado da razão de F/A e esboce um gráfico de F/A em função de “C”.
(b) calcule o ponto de mínimo e explique se fisicamente é ou não possível obter este valor.
(a) explique o significado da razão de F/A e esboce um gráfico de F/A em função de “C”.
(b) calcule o ponto de mínimo e explique se fisicamente é ou não possível obter este valor.
Passo 1
O enunciado fornece a equação obtida do balanço de massa:
e diz que
e
são constantes. O que se pede:
(a) explicar o significado físico da razão e esboçar (descrever) o gráfico de
em função de
;
(b) calcular o ponto de mínimo da função e discutir se esse valor é fisicamente possível.
(a) explicar o significado físico da razão
(b) calcular o ponto de mínimo da função
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é uma razão obtida num balanço de massa (tem unidades de fluxo por área: massa por tempo por área ou equivalente volumétrico por área, dependendo das unidades usadas). -
é a variável independente (concentração) cujo papel é estudado. -
são constantes positivas (interpretação física usual: velocidade de sedimentação, concentração limite/compactação, fator constante). - A expressão tem um denominador com
, que pode anular-se quando — isto já indica um comportamento singular nesse ponto.
Passo 2
Interpretando fisicamente
.
Explicação didática:
- Em problemas de sedimentação/clarificação,
costuma ser uma taxa de massa ou débito de sólidos (por exemplo em kg/s) e a área transversal do sedimentador (m^2). Assim representa um fluxo superficial de sólidos por unidade de área; em outras palavras, a carga de sólidos que se tenta remover por unidade de área do sedimentador por unidade de tempo. Em projeto isso é importante porque o dimensionamento (área) deve suportar esse fluxo sem perda por arraste. - Importante: se
for muito grande, partículas não conseguem assentar suficientemente rápido e o clarificador falha; se for pequeno, a área pode estar superdimensionada.
(Observação: mesmo sem saber a definição exata de
dada pelo professor, esta é a interpretação típica e suficiente para entender o comportamento matemático da expressão.)
Passo 3
Simplificar a expressão algebraicamente para estudar o comportamento em função de
.
Parto da equação dada:
Calculo o denominador em forma única:
Substituindo na expressão:
Defino uma constante positiva
portanto a função a estudar fica
Esta forma é mais fácil para analisar limites, sinais e derivadas.
Passo 4
Análise de domínio, sinais e assíntotas (comportamento limite).
- Denominador
anula-se quando . Logo é um ponto singulare (assíntota vertical) e a função não está definida aí. - Para
(concentrações abaixo de ) temos e , logo . Esse é o intervalo fisicamente mais plausível (concentração menor que a concentração limite de empacotamento). - Para
a fração é negativa (denominador negativo), portanto . Um fluxo negativo de sólidos não é fisicamente aceitável no contexto usual — significa uma incongruência física (o modelo perde validade para ). - Limites importantes:
Ou seja, para
a função tende a um valor finito negativo
.
Passo 5
Esboço do gráfico (descrição): como desenhar/esperar o gráfico de
versus
.
- Para
próximo de : . - No intervalo
: a função é positiva, cresce monotonicamente e vai para quando se aproxima de pela esquerda. O crescimento é cada vez mais rápido conforme se aproxima de (assíntota vertical). - Em
: não existe valor — assíntota vertical. - Para
: a função é negativa, sai de logo após e sobe (isto é, aumenta) conforme cresce, aproximando-se assintoticamente de por baixo. - Forma geral: dois ramos separados pela assíntota vertical
: ramo direito negativo que tende para , ramo esquerdo positivo crescendo de até .
Se fosse desenhar: no eixo horizontal ponha
, marque
e
; para
a altura é
; curva sobe e vira vertical em
; do outro lado da assíntota começa em
e vai assintoticamente a
.
Passo 6
Cálculo de derivada e busca de extremos (explicando a regra usada).
Vou usar a regra do quociente ou derivar a forma
aplicando a regra do produto + cadeia. Para ser didático, uso derivada da forma simplificada:
Aplicando a regra do quociente diretamente (se
então
) com
e
:
-
, -
.
Logo
Observações sobre
:
- O numerador
é positivo (constantes positivas). - O denominador
é sempre positivo (exceto em , onde a derivada não existe). - Portanto
para todo (onde a função está definida). Conclusão: a função é estritamente crescente em cada intervalo de definição e .
Passo 7
Conclusão sobre extremos e existência de mínimo.
- Como
sempre (nos intervalos válidos), não existem pontos críticos onde . Logo não há extremos locais internos na região onde a função é definida. - No intervalo fisicamente relevante
(concentração menor que o limite físico ), a função é crescente e vai de até . Então o menor valor possível nesse intervalo é o limite quando , isto é . - Matematicamente, para todo domínio real excluindo
, não existe um mínimo finito global: no ramo direito a função vai de (em ) até (em ), então não há mínimo finito (o infimum é ). Porém esse ramo corresponde a valores negativos de que não fazem sentido físico no contexto de fluxo de sólidos. - Portanto, fisicamente, o menor valor realizável de
é , atingido no limite (concentração nula de sólidos significa fluxo de sólidos nulo). Não há um mínimo positivo interior alcançável com .
Passo 8
Interpretação física final e resposta sobre a possibilidade prática de atingir o mínimo.
- O mínimo físico de
é , correspondente a não haver sólidos ( ). Isso é trivial e fisicamente óbvio: sem sólidos não há fluxo de sólidos. - O ponto
é proibido porque a expressão explode (assíntota). Fisicamente costuma representar uma concentração limite de empacotamento/compactação; não é possível operar exatamente nesse ponto no modelo (o modelo previne atingindo pois a equação indica necessidade de ). - Valores
levariam a (não físico) — portanto o modelo só tem significado prático para . - Conclusão prática: não existe um mínimo interior não-trivial a ser usado para projeto; a operação válida exige escolher
menor que e então cresce quando aumenta (ou seja, misturas mais concentradas exigem maior carga superficial admissível).
Resposta
(a)
é o fluxo de sólidos por unidade de área (fluxo superficial de sólidos) no sedimentador. O gráfico de
vs
(com
) tem a forma
: para
é positivo, cresce de
(quando
) até
(quando
), há uma assíntota vertical em
; para
a função é negativa (não física), saindo de
e tendendo para
quando
.
(b) A função não tem ponto crítico interior ( para todo
), portanto não existe mínimo interno não-trivial. Fisicamente, no domínio válido
o menor valor é o limite
quando
. O valor
é impossível (assíntota) e
dá
, que não é fisicamente admissível.
(b) A função não tem ponto crítico interior (