(
pontos) Considere o seguinte campo de velocidade em regime permanemte e tridimensional:
a) O campo de aceleração;
b) Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento
b) Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento
Passo 1
Identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Velocidade dada (peguei as expressões do enunciado, usando vírgula como separador decimal):
com - O enunciado pede:
(a) o campo de aceleração para esse escoamento em regime permanente;
(b) as taxas de translação, rotação, deformação linear (componentes normais) e de deformação por cisalhamento (componentes de cisalhamento).
A partir daqui vou calcular passo a passo as derivadas necessárias, explicar as fórmulas que uso e interpretar o resultado.
Passo 2
Fórmula da aceleração em escoamento permanente e cálculo das derivadas parciais necessárias.
- Em regime permanente (
) a aceleração material é só a aceleração convectiva: isto é, componente a componente:
- Calcular as derivadas parciais (vou listar e explicar rapidamente cada uma):
Esses resultados vêm diretamente das expressões de
: por exemplo
é o coeficiente de
em
, que é
;
é derivada de
em relação a
, que é
, etc.
Passo 3
Calcular
e
passo a passo.
-
Usando as fórmulas:Substituindo
e : Desenvolvendo:Portantoé constante: . -
Para
: que é exatamente a mesma expressão que. Logo, pelo mesmo cálculo,
Passo 4
Calcular
(com cuidado para não pular etapas).
- Fórmula:
- Substituir
e : Calcular :
Somando:
Multiplicando por
:
Passo 5
Resumo do campo de aceleração obtido.
- Reunindo componentes:
Fiz a conta de cada componente passo a passo acima.
Passo 6
Agora vou tratar as taxas pedidas em (b). Primeiro explico a ideia geral e as fórmulas que vamos usar.
- “Taxa de translação”: em cinemática de fluidos, a taxa de translação do elemento é simplesmente o vetor velocidade
— é a velocidade do centro do elemento (a taxa com que o centro do elemento se move). - “Taxa de rotação”: dada pelo vetor rotação (spin)
onde (o rotacional) tem componentes - “Deformação linear” refere-se às componentes normais do tensor taxa-de-deformação (tensor simétrico)
, definidas por As componentes normais (deformação linear) são , , .
A taxa volumétrica (dilatação) é. - “Deformação por cisalhamento” são as componentes fora da diagonal do mesmo tensor:
, , .
Passo 7
Calcular o rotacional e o vetor rotação
.
- Usando as derivadas que já calculei:
- Logo o rotacional é
. Então o vetor rotação é
Passo 8
Calcular o tensor taxa-de-deformação
: componentes normais (deformação linear) e de cisalhamento.
-
Componentes normais:A taxa volumétrica (dilatação) éObservação:
significa que o escoamento é localmente incompressível (não há variação de volume infinitesimal). -
Componentes de cisalhamento (simétricas):
(E as componentes simétricas opostas valem o mesmo:
, etc.)
Passo 9
Interpretação curta e encorajamento (rápido) — resumo do que encontramos.
- A aceleração tem componentes constantes nas direções
e e uma componente quadrática em e não-linear em . - O escoamento é localmente incompressível (
). - Há rotação local (spin) com componente
igual a (valor constante) e componentes que variam linearmente com e . - As deformações por cisalhamento
e existem e variam com e respectivamente; .
Resposta
(a)
(b) Taxas:
- Taxa de translação:
- Taxa de rotação (vetor rotação):
- Deformação linear (componentes normais):
com (sem dilatação volumétrica). - Deformação por cisalhamento (componentes simétricas):