( \mathbf{2 , 5} pontos) Considere o seguinte campo de velocidade em regime permanemte e tridimensional:
\vec{V}=(u, v, w)=(3,0+2,0 x-2,0 y) \vec{i}+(2,0 x-2,0 y) \vec{j}+(0,5 x y) \vec{k}
a) O campo de aceleração;
b) Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento

Passo 1

Identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Velocidade dada (peguei as expressões do enunciado, usando vírgula como separador decimal): \vec{V}=(u,v,w),com u=3,0+2,0\,x-2,0\,y,\qquad v=2,0\,x-2,0\,y,\qquad w=0,5\,x y.
  • O enunciado pede:
    (a) o campo de aceleração para esse escoamento em regime permanente;
    (b) as taxas de translação, rotação, deformação linear (componentes normais) e de deformação por cisalhamento (componentes de cisalhamento).
A partir daqui vou calcular passo a passo as derivadas necessárias, explicar as fórmulas que uso e interpretar o resultado.

Passo 2

Fórmula da aceleração em escoamento permanente e cálculo das derivadas parciais necessárias.
  • Em regime permanente ( \partial/\partial t=0) a aceleração material é só a aceleração convectiva: \vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V},isto é, componente a componente: a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z},
a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z},
a_z = u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}.
  • Calcular as derivadas parciais (vou listar e explicar rapidamente cada uma): \frac{\partial u}{\partial x}=2,0,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2,0,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=0,
\frac{\partial v}{\partial x}=2,0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-2,0,\qquad \frac{\partial v}{\partial z}=0,
\frac{\partial w}{\partial x}=0,5\,y,\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=0,5\,x,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=0.
Esses resultados vêm diretamente das expressões de u,v,w: por exemplo \partial u/\partial x é o coeficiente de x em u, que é 2,0; \partial w/\partial x é derivada de 0,5xy em relação a x, que é 0,5y, etc.

Passo 3

Calcular a_x e a_y passo a passo.
  • Usando as fórmulas:
    a_x = 2,0\,u - 2,0\,v \quad(\text{porque }\partial u/\partial x=2,0,\\ \partial u/\partial y=-2,0,\\ \partial u/\partial z=0).
    Substituindo u e v:
    a_x = 2,0\bigl(3,0+2,0x-2,0y\bigr)-2,0\bigl(2,0x-2,0y\bigr).
    Desenvolvendo:
    a_x = 2,0\cdot 3,0 + 4,0x -4,0y -4,0x +4,0y = 2,0\cdot 3,0 = 6,0.
    Portanto a_x é constante: a_x=6,0.
  • Para a_y:
    a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z} = 2,0\,u - 2,0\,v,
    que é exatamente a mesma expressão que a_x. Logo, pelo mesmo cálculo,
    a_y = 6,0.

Passo 4

Calcular a_z (com cuidado para não pular etapas).
  • Fórmula: a_z = u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z} = u(0,5\,y) + v(0,5\,x) + w\cdot 0.
  • Substituir u e v: a_z = 0,5\bigl[u\,y + v\,x\bigr].Calcular u\,y + v\,x: u\,y = y(3,0+2,0x-2,0y)=3,0y+2,0xy-2,0y^{2},
v\,x = x(2,0x-2,0y)=2,0x^{2}-2,0xy.
Somando:
u\,y+v\,x = 2,0x^{2} + 3,0y -2,0y^{2}.
Multiplicando por 0,5:
a_z = 0,5\bigl(2,0x^{2}+3,0y-2,0y^{2}\bigr)=1,0x^{2}+1,5y-1,0y^{2}.

Passo 5

Resumo do campo de aceleração obtido.
  • Reunindo componentes: \vec{a} = 6,0\,\vec{i} + 6,0\,\vec{j} + \bigl(1,0x^{2}+1,5y-1,0y^{2}\bigr)\,\vec{k}.Fiz a conta de cada componente passo a passo acima.

Passo 6

Agora vou tratar as taxas pedidas em (b). Primeiro explico a ideia geral e as fórmulas que vamos usar.
  • “Taxa de translação”: em cinemática de fluidos, a taxa de translação do elemento é simplesmente o vetor velocidade \vec{V} — é a velocidade do centro do elemento (a taxa com que o centro do elemento se move).
  • “Taxa de rotação”: dada pelo vetor rotação (spin) \vec{\omega}=\tfrac{1}{2}\nabla\times\vec{V},onde \nabla\times\vec{V} (o rotacional) tem componentes (\nabla\times\vec{V})_x=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\quad (\nabla\times\vec{V})_y=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\quad (\nabla\times\vec{V})_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
  • “Deformação linear” refere-se às componentes normais do tensor taxa-de-deformação (tensor simétrico) D, definidas por D_{ij}=\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Bigr).As componentes normais (deformação linear) são D_{xx}=\partial u/\partial x, D_{yy}=\partial v/\partial y, D_{zz}=\partial w/\partial z.
    A taxa volumétrica (dilatação) é \nabla\cdot\vec{V}=D_{xx}+D_{yy}+D_{zz}.
  • “Deformação por cisalhamento” são as componentes fora da diagonal do mesmo tensor: D_{xy}=\tfrac{1}{2}(\partial u/\partial y+\partial v/\partial x), D_{xz}=\tfrac{1}{2}(\partial u/\partial z+\partial w/\partial x), D_{yz}=\tfrac{1}{2}(\partial v/\partial z+\partial w/\partial y).

Passo 7

Calcular o rotacional e o vetor rotação \vec{\omega}.
  • Usando as derivadas que já calculei: (\nabla\times\vec{V})_x = \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}=0,5x-0=0,5x,
(\nabla\times\vec{V})_y = \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}=0-0,5y=-0,5y,
(\nabla\times\vec{V})_z = \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=2,0-(-2,0)=4,0.
  • Logo o rotacional é \nabla\times\vec{V}=(0,5x,\,-0,5y,\,4,0). Então o vetor rotação é \vec{\omega}=\tfrac{1}{2}\nabla\times\vec{V}=(0,25x,\,-0,25y,\,2,0).

Passo 8

Calcular o tensor taxa-de-deformação D: componentes normais (deformação linear) e de cisalhamento.
  • Componentes normais:
    D_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}=2,0,\qquad D_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}=-2,0,\qquad D_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}=0.
    A taxa volumétrica (dilatação) é
    \nabla\cdot\vec{V}=D_{xx}+D_{yy}+D_{zz}=2,0-2,0+0=0.
    Observação: \nabla\cdot\vec{V}=0 significa que o escoamento é localmente incompressível (não há variação de volume infinitesimal).
  • Componentes de cisalhamento (simétricas):
    D_{xy}=\tfrac{1}{2}\bigl(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\bigr) =\tfrac{1}{2}(-2,0+2,0)=0,
D_{xz}=\tfrac{1}{2}\bigl(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\bigr) =\tfrac{1}{2}(0+0,5y)=0,25y,
D_{yz}=\tfrac{1}{2}\bigl(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\bigr) =\tfrac{1}{2}(0+0,5x)=0,25x.
(E as componentes simétricas opostas valem o mesmo: D_{yx}=D_{xy}, etc.)

Passo 9

Interpretação curta e encorajamento (rápido) — resumo do que encontramos.
  • A aceleração tem componentes constantes nas direções x e y e uma componente z quadrática em x e não-linear em y.
  • O escoamento é localmente incompressível ( \nabla\cdot\vec{V}=0).
  • Há rotação local (spin) com componente z igual a 2,0 (valor constante) e componentes x,y que variam linearmente com x e y.
  • As deformações por cisalhamento D_{xz} e D_{yz} existem e variam com y e x respectivamente; D_{xy}=0.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{a}=6,0\,\vec{i}+6,0\,\vec{j}+\bigl(1,0x^{2}+1,5y-1,0y^{2}\bigr)\,\vec{k}.
(b) Taxas:
  • Taxa de translação: \displaystyle \vec{V}=(3,0+2,0x-2,0y)\,\vec{i}+(2,0x-2,0y)\,\vec{j}+(0,5xy)\,\vec{k}.
  • Taxa de rotação (vetor rotação): \displaystyle \vec{\omega}=\tfrac{1}{2}\nabla\times\vec{V}=(0,25x)\,\vec{i}+(-0,25y)\,\vec{j}+(2,0)\,\vec{k}.
  • Deformação linear (componentes normais): \displaystyle D_{xx}=2,0,\quad D_{yy}=-2,0,\quad D_{zz}=0, com \displaystyle \nabla\cdot\vec{V}=0 (sem dilatação volumétrica).
  • Deformação por cisalhamento (componentes simétricas): \displaystyle D_{xy}=0,\quad D_{xz}=0,25\,y,\quad D_{yz}=0,25\,x.

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