( \mathbf{2 , 5} pontos) A água passa pela transição de tubo a uma taxa de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em A. Determine a diferença no nível de mercúrio dentro do manômetro. Considere pHg =1350 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a diferença no nível de mercúrio dentro do manômetro.”
Informações explícitas dadas no enunciado:
  • A água passa pela transição de tubo a uma taxa de 6\\ \mathrm{m/s} em A.
  • Densidade do mercúrio fornecida: \rho_{\text{Hg}}=1350\\ \mathrm{kg/m^3}.
O que está ausente (informações relevantes que o enunciado NÃO deu, mas que são necessárias para resolver o problema):
  • Para quais pontos o manômetro está conectado? (por exemplo, entre A e outro ponto B, ou entre A e a atmosfera?)
  • Se o manômetro tem os dois braços conectados a pontos do escoamento, quais são as posições/escalas desses pontos e as suas elevações relativas?
  • A velocidade de 6\\ \mathrm{m/s} em A é a única velocidade conhecida; falta a velocidade (ou área/diâmetro) no outro ponto ligado ao manômetro para que se determine a diferença de pressão entre os pontos.
  • Geometria do tubo (diâmetros nas seções antes e depois da transição) ou qualquer dado que permita obter a velocidade no outro ponto por continuidade.
  • Se há diferença de nível físico entre as tomadas do manômetro (diferença de cota entre os pontos), e o fluido do manômetro é só mercúrio ou há coluna de água ligada aos braços (configuração do manômetro).
Conclusão deste passo: o enunciado não trouxe a figura nem dados essenciais (segundo ponto/velocidade, diâmetros, ou conexão do manômetro). Sem essas informações não é possível calcular numericamente a diferença de nível do mercúrio.

Passo 2

Por que não dá para resolver numericamente com os dados atuais:
  • O manômetro mede uma diferença de pressão entre os pontos onde está ligado. Para transformar essa diferença de pressão em diferença de nível \Delta h do mercúrio é preciso primeiro conhecer a diferença de pressão \Delta p entre os pontos do escoamento.
  • Para obter \Delta p a partir da informação da velocidade em A é preciso saber a velocidade no outro ponto (ou o trabalho/pressão aplicado, áreas, etc.). Somente com uma velocidade em um ponto não se consegue concluir qual é \Delta p.
  • Portanto falta um dado-chave: pressão ou velocidade/área no outro ponto conectado ao manômetro, ou uma figura que indique que o outro braço está aberto à atmosfera (neste caso precisaríamos saber se o ponto A está ligado diretamente ao manômetro e qual é a pressão de referência).

Passo 3

Vou ensinar passo a passo o método correto para resolver esse tipo de exercício assim que os dados estiverem completos. Aqui está o roteiro que será aplicado (com explicações didáticas):
  1. Relação entre velocidade e pressão (Bernoulli simples, para escoamento incompressível, estacionário, sem atrito entre duas seções A e B ao mesmo nível vertical):
p_A+\tfrac{1}{2}\rho_w v_A^{2} = p_B+\tfrac{1}{2}\rho_w v_B^{2},
onde
  • p_A,p_B são as pressões estáticas em A e B;
  • \rho_w é a densidade da água (normalmente \rho_w\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3});
  • v_A,v_B são as velocidades em A e B.
Dessa equação obtemos a diferença de pressão:
\Delta p \equiv p_A-p_B = \tfrac{1}{2}\rho_w\left(v_B^{2}-v_A^{2}\right).
Observação: se os pontos não estão ao mesmo nível, incluir o termo \rho_w g(z_A-z_B) no Bernoulli.
  1. Relação pressão ↔ diferença de nível no manômetro:
    Considere um manômetro diferencial do tipo tubo em U preenchido com mercúrio ( \rho_{\text{Hg}}) e ligado a dois pontos do escoamento que contêm o fluido de trabalho (água, \rho_w). Fazendo o balanço de pressões seguindo uma linha contínua através dos fluidos e usando a lei de Stevin (pressão varia com \rho g h), chega-se à relação clássica:
p_A-p_B = (\rho_{\text{Hg}}-\rho_w)\,g\,\Delta h,
onde
  • \Delta h é a diferença de nível do mercúrio entre os dois braços do manômetro (medida de superfície a superfície do mercúrio),
  • g é a aceleração da gravidade.
Derivação curta e intuitiva (passo a passo):
  • Desça desde o ponto de conexão A até a superfície do mercúrio no braço esquerdo no interior do tubo do manômetro através da água: a pressão aumenta de p_A em A para p_{iL}=p_A+\rho_w g h_{wL}, onde h_{wL} é a altura vertical da coluna de água até a interface mercúrio/água (essa altura aparece nas contas, mas some no final ao comparar com o outro braço).
  • Atravesse a interface e suba/baixe dentro do mercúrio de um braço para o outro: a diferença entre as pressões nas interfaces esquerda e direita é dada pela diferença de coluna de mercúrio \rho_{\text{Hg}} g vezes a diferença de alturas das interfaces.
  • Suba do interface direito para o ponto de conexão B através da água: a pressão diminui por \rho_w g h_{wR}.
  • Ao igualar pressões por percurso contínuo obtém-se a forma final acima, em que aparecem somente as densidades e \Delta h.
  1. Combinar as duas relações: igualar a expressão de \Delta p de Bernoulli com a expressão do manômetro:
\tfrac{1}{2}\rho_w\left(v_B^{2}-v_A^{2}\right) = (\rho_{\text{Hg}}-\rho_w)\,g\,\Delta h.
Desse modo isolamos \Delta h:
\Delta h = \frac{\tfrac{1}{2}\rho_w\left(v_B^{2}-v_A^{2}\right)}{(\rho_{\text{Hg}}-\rho_w)\,g}.
Essa é a fórmula operacional: fornece a diferença de nível do mercúrio em termos das velocidades das duas seções e das densidades.

Passo 4

Exemplo numérico ilustrativo (APENAS para mostrar como aplicar as fórmulas). Atenção: este exemplo usa um valor hipotético para v_B porque o enunciado não informou v_B. Não confundir com a solução do seu problema, que precisa dos dados reais.
Suponha, por exemplo, que o outro ponto B tem v_B=2\\ \mathrm{m/s} (hipótese). Use \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_{\text{Hg}}=1350\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}, e v_A=6\\ \mathrm{m/s}. Então
\Delta p = \tfrac{1}{2}(1000)\bigl(2^{2}-6^{2}\bigr) =500\,(4-36)=500\cdot(-32)=-16000\\ \mathrm{Pa}.
O sinal negativo indica p_A<p_B (no exemplo assumido). Tomando valor absoluto para \Delta h:
\Delta h = \frac{|\Delta p|}{(\rho_{\text{Hg}}-\rho_w)\,g} = \frac{16000}{(1350-1000)\cdot 9,81} = \frac{16000}{350\cdot 9,81} \approx \frac{16000}{3433,5}\approx 4,66\\ \mathrm{m}.
Esse número (muito grande) surge porque a diferença de densidade entre mercúrio e água no exemplo é pequena (dados hipotéticos) e a diferença de pressões foi grande; isso ilustra que sem os dados corretos o resultado pode ser absurdo. Em problemas reais com mercúrio típico \rho_{\text{Hg}}\approx13500\\ \mathrm{kg/m^3}, \Delta h seria muito menor. Aqui o valor \rho_{\text{Hg}}=1350\\ \mathrm{kg/m^3} do enunciado é pouco usual (provavelmente um erro de digitação no enunciado — verifique se não era \,13500\\ \mathrm{kg/m^3}). Se realmente \rho_{\text{Hg}}=1350\\ \mathrm{kg/m^3} então o fluido do manômetro não é mercúrio “clássico” e isso altera fortemente os números.

Passo 5

O que eu preciso que você me envie (sem eu ficar perguntando) para eu calcular numericamente a diferença de nível:
  • Uma figura ou texto que indique exatamente como o manômetro está ligado (entre quais pontos), ou dizer explicitamente: "manômetro ligado entre A e B" ou “braço esquerdo ligado em A, braço direito aberto à atmosfera”, etc.;
  • Caso o manômetro esteja entre A e outro ponto B: a velocidade em B ou os diâmetros/áreas que permitam achar v_B por continuidade; se for entre A e atmosfera, dizer se a tomada no outro braço está realmente à pressão atmosférica;
  • Confirmar se \rho_{\text{Hg}}=1350\\ \mathrm{kg/m^3} está correto (isso é muito menor do que o mercúrio real; mercúrio puro tem \approx13500\\ \mathrm{kg/m^3}). Se for typo, indicar o valor correto;
  • Indicar alturas relativas (se os pontos A e B não estiverem no mesmo nível vertical), caso sejam diferentes.
Se você me enviar esses dados (ou a figura do enunciado), eu aplico imediatamente os passos acima e te entrego a resolução completa, passo a passo, com números e a resposta final. Força aí — dá pra resolver rapidinho assim que eu tiver a figura ou os dados faltantes!

Resposta

Não é possível determinar numericamente a diferença de nível do mercúrio com os dados fornecidos; faltam informações essenciais (figura/conexões do manômetro, velocidade ou área no ponto ligado ao outro braço, e confirmação do valor de \rho_{\text{Hg}}).

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