(
pontos) A água passa pela transição de tubo a uma taxa de
em A. Determine a diferença no nível de mercúrio dentro do manômetro. Considere pHg
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a diferença no nível de mercúrio dentro do manômetro.”
Informações explícitas dadas no enunciado:
Informações explícitas dadas no enunciado:
- A água passa pela transição de tubo a uma taxa de
em . - Densidade do mercúrio fornecida:
.
O que está ausente (informações relevantes que o enunciado NÃO deu, mas que são necessárias para resolver o problema):
- Para quais pontos o manômetro está conectado? (por exemplo, entre
e outro ponto , ou entre e a atmosfera?) - Se o manômetro tem os dois braços conectados a pontos do escoamento, quais são as posições/escalas desses pontos e as suas elevações relativas?
- A velocidade de
em é a única velocidade conhecida; falta a velocidade (ou área/diâmetro) no outro ponto ligado ao manômetro para que se determine a diferença de pressão entre os pontos. - Geometria do tubo (diâmetros nas seções antes e depois da transição) ou qualquer dado que permita obter a velocidade no outro ponto por continuidade.
- Se há diferença de nível físico entre as tomadas do manômetro (diferença de cota entre os pontos), e o fluido do manômetro é só mercúrio ou há coluna de água ligada aos braços (configuração do manômetro).
Conclusão deste passo: o enunciado não trouxe a figura nem dados essenciais (segundo ponto/velocidade, diâmetros, ou conexão do manômetro). Sem essas informações não é possível calcular numericamente a diferença de nível do mercúrio.
Passo 2
Por que não dá para resolver numericamente com os dados atuais:
- O manômetro mede uma diferença de pressão entre os pontos onde está ligado. Para transformar essa diferença de pressão em diferença de nível
do mercúrio é preciso primeiro conhecer a diferença de pressão entre os pontos do escoamento. - Para obter
a partir da informação da velocidade em é preciso saber a velocidade no outro ponto (ou o trabalho/pressão aplicado, áreas, etc.). Somente com uma velocidade em um ponto não se consegue concluir qual é . - Portanto falta um dado-chave: pressão ou velocidade/área no outro ponto conectado ao manômetro, ou uma figura que indique que o outro braço está aberto à atmosfera (neste caso precisaríamos saber se o ponto A está ligado diretamente ao manômetro e qual é a pressão de referência).
Passo 3
Vou ensinar passo a passo o método correto para resolver esse tipo de exercício assim que os dados estiverem completos. Aqui está o roteiro que será aplicado (com explicações didáticas):
- Relação entre velocidade e pressão (Bernoulli simples, para escoamento incompressível, estacionário, sem atrito entre duas seções
e ao mesmo nível vertical):
onde
-
são as pressões estáticas em e ; -
é a densidade da água (normalmente ); -
são as velocidades em e .
Dessa equação obtemos a diferença de pressão:
Observação: se os pontos não estão ao mesmo nível, incluir o termo
no Bernoulli.
- Relação pressão ↔ diferença de nível no manômetro:
Considere um manômetro diferencial do tipo tubo em U preenchido com mercúrio () e ligado a dois pontos do escoamento que contêm o fluido de trabalho (água, ). Fazendo o balanço de pressões seguindo uma linha contínua através dos fluidos e usando a lei de Stevin (pressão varia com ), chega-se à relação clássica:
onde
-
é a diferença de nível do mercúrio entre os dois braços do manômetro (medida de superfície a superfície do mercúrio), -
é a aceleração da gravidade.
Derivação curta e intuitiva (passo a passo):
- Desça desde o ponto de conexão A até a superfície do mercúrio no braço esquerdo no interior do tubo do manômetro através da água: a pressão aumenta de
em A para , onde é a altura vertical da coluna de água até a interface mercúrio/água (essa altura aparece nas contas, mas some no final ao comparar com o outro braço). - Atravesse a interface e suba/baixe dentro do mercúrio de um braço para o outro: a diferença entre as pressões nas interfaces esquerda e direita é dada pela diferença de coluna de mercúrio
vezes a diferença de alturas das interfaces. - Suba do interface direito para o ponto de conexão
através da água: a pressão diminui por . - Ao igualar pressões por percurso contínuo obtém-se a forma final acima, em que aparecem somente as densidades e
.
- Combinar as duas relações: igualar a expressão de
de Bernoulli com a expressão do manômetro:
Desse modo isolamos
:
Essa é a fórmula operacional: fornece a diferença de nível do mercúrio em termos das velocidades das duas seções e das densidades.
Passo 4
Exemplo numérico ilustrativo (APENAS para mostrar como aplicar as fórmulas). Atenção: este exemplo usa um valor hipotético para
porque o enunciado não informou
. Não confundir com a solução do seu problema, que precisa dos dados reais.
Suponha, por exemplo, que o outro ponto
tem
(hipótese). Use
,
,
, e
. Então
O sinal negativo indica
(no exemplo assumido). Tomando valor absoluto para
:
Esse número (muito grande) surge porque a diferença de densidade entre mercúrio e água no exemplo é pequena (dados hipotéticos) e a diferença de pressões foi grande; isso ilustra que sem os dados corretos o resultado pode ser absurdo. Em problemas reais com mercúrio típico
,
seria muito menor. Aqui o valor
do enunciado é pouco usual (provavelmente um erro de digitação no enunciado — verifique se não era
). Se realmente
então o fluido do manômetro não é mercúrio “clássico” e isso altera fortemente os números.
Passo 5
O que eu preciso que você me envie (sem eu ficar perguntando) para eu calcular numericamente a diferença de nível:
- Uma figura ou texto que indique exatamente como o manômetro está ligado (entre quais pontos), ou dizer explicitamente: "manômetro ligado entre
e " ou “braço esquerdo ligado em , braço direito aberto à atmosfera”, etc.; - Caso o manômetro esteja entre
e outro ponto : a velocidade em ou os diâmetros/áreas que permitam achar por continuidade; se for entre e atmosfera, dizer se a tomada no outro braço está realmente à pressão atmosférica; - Confirmar se
está correto (isso é muito menor do que o mercúrio real; mercúrio puro tem ). Se for typo, indicar o valor correto; - Indicar alturas relativas (se os pontos
e não estiverem no mesmo nível vertical), caso sejam diferentes.
Se você me enviar esses dados (ou a figura do enunciado), eu aplico imediatamente os passos acima e te entrego a resolução completa, passo a passo, com números e a resposta final. Força aí — dá pra resolver rapidinho assim que eu tiver a figura ou os dados faltantes!
Resposta
Não é possível determinar numericamente a diferença de nível do mercúrio com os dados fornecidos; faltam informações essenciais (figura/conexões do manômetro, velocidade ou área no ponto ligado ao outro braço, e confirmação do valor de
).