Q. 2- O balanço de um relógio antigo oscila com uma amplitude angular de \pi \mathrm{rad} e um período de 0,500 \mathrm{~s}. Determine (a) a velocidade angular máxima do balanço, (b) a velocidade angular no momento em que o deslocamento é \frac{\pi}{2} rad e (c) o módulo da aceleração angular no momento em que o deslocamento é \frac{\pi}{4} \mathrm{rad} .(1,5 \mathrm{pt})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegar estes do enunciado):
    • Amplitude angular: \theta_{\max}=\pi\\ \text{rad}.
    • Período: T=0{,}500\\ \text{s}.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a velocidade angular máxima do balanço.
    • (b) Determinar a velocidade angular no instante em que o deslocamento é \theta=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}.
    • (c) Determinar o módulo da aceleração angular no instante em que o deslocamento é \theta=\dfrac{\pi}{4}\\ \text{rad}.

Passo 2

Primeiro, vamos obter a frequência angular do movimento. Para um movimento harmônico simples (que é o caso de um pêndulo pequeno ou balanço oscilante idealizado), a frequência angular \omega está ligada ao período T pela fórmula
\omega=\frac{2\pi}{T},
onde:
  • \omega é a frequência angular em \text{rad/s},
  • T é o período em \text{s}.
Substituindo T=0{,}500\\ \text{s},
\omega=\frac{2\pi}{0{,}500}=4\pi\\ \text{rad/s}.
Numérico: \omega=4\pi\approx 12{,}566\\ \text{rad/s}.

Passo 3

(a) Velocidade angular máxima.
  • Para um movimento harmônico simples com deslocamento angular \theta(t)=\theta_{\max}\cos(\omega t+\varphi), a velocidade angular é a derivada temporal
\dot{\theta}(t)=-\omega\,\theta_{\max}\sin(\omega t+\varphi).
  • O módulo máximo de \dot{\theta} ocorre quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1, então
\dot{\theta}_{\max}=\omega\,\theta_{\max}.
Aqui:
  • \dot{\theta}_{\max} é a velocidade angular máxima em \text{rad/s},
  • \omega é a frequência angular calculada no passo anterior,
  • \theta_{\max} é a amplitude angular dada.
Substituindo \omega=4\pi e \theta_{\max}=\pi,
\dot{\theta}_{\max}=(4\pi)\cdot\pi=4\pi^{2}\\ \text{rad/s}.
Valor numérico:
4\pi^{2}\approx 39{,}478\\ \text{rad/s}\\ (\text{ou }39{,}48\\ \text{rad/s}, \text{com 3 dígitos significativos}).í

Passo 4

(b) Velocidade angular quando \theta=\dfrac{\pi}{2}.
  • Uma forma prática e direta de obter a velocidade instantânea a partir do deslocamento é usar a relação (que vem do modelo de SHM):
\dot{\theta}^{2}=\omega^{2}\bigl(\theta_{\max}^{2}-\theta^{2}\bigr).
Essa relação é análoga à conservação de energia no oscilador harmônico: a soma da “energia cinética” angular e “energia potencial” angular é constante.
  • Explicando as variáveis:
    • \dot{\theta} é a velocidade angular instantânea,
    • \omega é a frequência angular,
    • \theta_{\max} é a amplitude,
    • \theta é o deslocamento no instante considerado.
Substituindo \omega=4\pi, \theta_{\max}=\pi e \theta=\dfrac{\pi}{2}:
\dot{\theta}^{2}=(4\pi)^{2}\Bigl(\pi^{2}-\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}\Bigr) =16\pi^{2}\Bigl(\pi^{2}-\tfrac{\pi^{2}}{4}\Bigr) =16\pi^{2}\cdot\frac{3\pi^{2}}{4}=12\pi^{4}.
Então
\dot{\theta}=\pm\sqrt{12}\,\pi^{2}=\pm 2\pi^{2}\sqrt{3}\\ \text{rad/s}.
Valor numérico:
2\pi^{2}\sqrt{3}\approx 34{,}204\\ \text{rad/s}\\ (\text{ou }34{,}20\\ \text{rad/s}).
Observação prática: o sinal + ou - depende do sentido da oscilação no instante considerado; se for pedido o módulo, toma-se o valor positivo.

Passo 5

(c) Módulo da aceleração angular quando \theta=\dfrac{\pi}{4}.
  • No movimento harmônico simples a aceleração angular instantânea é proporcional ao deslocamento e tem sinal oposto:
\ddot{\theta}(t)=-\omega^{2}\theta(t),
onde:
  • \ddot{\theta} é a aceleração angular em \text{rad/s}^{2},
  • \omega é a frequência angular,
  • \theta(t) é o deslocamento angular no instante considerado.
  • O módulo (valor absoluto) da aceleração é
\bigl|\ddot{\theta}\bigr|=\omega^{2}\,|\theta|.
Substituindo \omega=4\pi e \theta=\dfrac{\pi}{4},
\bigl|\ddot{\theta}\bigr|=(4\pi)^{2}\cdot\frac{\pi}{4}=16\pi^{2}\cdot\frac{\pi}{4}=4\pi^{3}\\ \text{rad/s}^{2}.
Valor numérico:
4\pi^{3}\approx 124{,}025\\ \text{rad/s}^{2}\\ (\text{ou }124{,}0\\ \text{rad/s}^{2}).

Resposta

(a) \dot{\theta}_{\max}=4\pi^{2}\\ \text{rad/s}\approx 39{,}48\\ \text{rad/s}
(b) \dot{\theta}=\pm 2\pi^{2}\sqrt{3}\\ \text{rad/s}\approx \pm 34{,}20\\ \text{rad/s}
(c) \bigl|\ddot{\theta}\bigr|=4\pi^{3}\\ \text{rad/s}^{2}\approx 124{,}0\\ \text{rad/s}^{2}

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