Em um problema de difração de fenda única, qual é a relação entre o comprimento de onda da luz e o tamanho da fenda para que ocorram máximos e mínimos de intensidade?

Passo 1

O que o enunciado pergunta e quais dados temos:
  • Pergunta: qual é a relação entre o comprimento de onda da luz e o tamanho da fenda para que ocorram máximos e mínimos da intensidade no padrão de difração de fenda única?
  • Informações relevantes (variáveis que vamos usar):
    • \lambda: comprimento de onda da luz.
    • a: largura (tamanho) da fenda.
    • \theta: ângulo de observação medido a partir da direção central (normal à fenda) até um ponto da tela.
    • I(\theta): intensidade observada na tela no ângulo \theta.
  • O enunciado não dá números específicos (é uma questão conceitual/analítica): precisamos apresentar as fórmulas que relacionam \lambda, a e \theta que determinam máximos e mínimos.

Passo 2

Entendendo o arranjo físico e a aproximação que usamos (Fraunhofer)
  • Configuração: uma única fenda de largura \,a é iluminada por luz monocromática de comprimento de onda \,\lambda. Observa-se o padrão de difração numa tela distante (ou usando lentes para obter o padrão na zona de Fraunhofer).
  • A aproximação de Fraunhofer (tela muito longe comparada a a) permite modelar o campo na tela como a soma das contribuições de todos os pontos da abertura, com diferenças de fase proporcionais a a\sin\theta.
  • Intuição física curta: cada ponto da fenda emite ondas; em certos ângulos as ondas vindas de diferentes partes da fenda interferem destrutivamente (mínimos) ou parcialmente construtivamente (máximos). A relação entre \lambda e a controla onde isso acontece.

Passo 3

Derivação (resumida e didática) da distribuição de intensidade
  • Considere a fenda estendendo-se no eixo y com largura \,a. Cada elemento infinitesimal da fenda contribui com uma onda cuja fase varia com a posição e com o ângulo \theta.
  • Somando (integrando) todas essas contribuições obtemos (resultado padrão da integral de difração):
I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2,
onde
\beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda},
e I_0 é a intensidade no centro ( \theta=0).
  • Explicação das variáveis na fórmula:
    • \beta é uma medida adimensional da diferença de fase entre extremidades da fenda para um dado ângulo \theta.
    • A função \left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 é o chamado padrão “sinc ao quadrado” e descreve os lóbulo central (mais brilhante) e os lóbulos secundários (mais fracos) com mínimas entre eles.

Passo 4

Condição exata para os mínimos (fácil e importante)
  • Os mínimos acontecem sempre que o numerador da função sinc for zero (exceto \beta=0 que é o máximo central). Assim os mínimos ocorrem quando
\sin\beta = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta = m\pi,\qquad m=\pm1,\pm2,\ldots
  • Substituindo \beta obtemos a condição usual:
a\sin\theta = m\lambda,\qquad m=\pm1,\pm2,\ldots
  • Interpretação prática:
    • Para cada inteiro m\neq0 existe um ângulo \theta_m dado por \sin\theta_m = \dfrac{m\lambda}{a} onde a intensidade é nula (mínimo).
    • Essa fórmula mostra a relação direta entre \lambda e a: se \lambda aumenta (para mesmo a) os mínimos ocorrem em ângulos maiores; se a aumenta (para mesmo \lambda) os mínimos se aproximam do eixo (ângulos menores).

Passo 5

Condição dos máximos (observação e fórmula exata vs. aproximada)
  • Ao contrário dos mínimos, os máximos secundários não têm uma condição tão simples e exata em termos de números inteiros. A posição dos máximos corresponde às soluções dos pontos em que a derivada de I(\theta) em relação a \beta é zero. Isso leva à equação transcendental
\tan\beta = \beta.
  • As soluções positivas não-triviais desta equação ( \beta\neq0) determinam as posições angulares dos máximos secundários. Não existe uma fórmula fechada simples para \beta a partir de inteiros.
  • Aproximação útil (usada em exercícios e provas): os máximos secundários ficam aproximadamente entre dois mínimos consecutivos, ou seja, “próximos” de
a\sin\theta \approx \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,
porém esse valor é apenas aproximado — na prática os máximos secundários estão um pouco deslocados em relação a (m+\tfrac{1}{2})\lambda. Exemplo numérico: o primeiro mínimo tem \beta=\pi e o primeiro máximo secundário ocorre para \beta\approx 4{,}493 (enquanto (1+\tfrac12)\pi\approx4{,}712); portanto a aproximação fica razoável mas não exata.
  • O máximo central (o lóbulo principal) está em \theta=0 (corresponde a \beta=0) e é muito mais intenso que os máximos secundários.

Passo 6

Consequências práticas e casos limites (regra de bolso para provas)
  • Largura angular do lóbulo central: entre os primeiros mínimos (m=\pm1). Assim a semi-ângulo até o primeiro mínimo satisfaz \sin\theta_1=\dfrac{\lambda}{a}. Para ângulos pequenos isso dá a largura total aproximada do pico central:
\text{largura angular central} \approx 2\theta_1 \approx \frac{2\lambda}{a}.
  • Dependência qualitativa entre \lambda e a:
    • Se a \gg \lambda → muitos mínimos e máximos bem próximos ao eixo; difração estreita (padrão “apertado”).
    • Se a \sim \lambda → padrão de difração amplo; mínimos e máximos em ângulos grandes.
    • Se a \ll \lambda → praticamente não aparecem mínimos observáveis (ou seja, não existe m\ge1 tal que m\lambda/a\le1); a fenda se comporta quase como fonte pontual e o padrão é muito difuso (muito espalhado).
  • Número de mínimos observáveis: do mínimo de ordem m é possível se |m|\le \lfloor a/\lambda\rfloor, pois \sin\theta deve ser \le1. Assim se a/\lambda for pequeno, poucos (ou nenhum) mínimos aparecem.

Passo 7

Resumo didático, o que decorar para prova (e o que lembrar na hora)
  • Regra fundamental (mínimos, exata e muito usada):
a\sin\theta = m\lambda,\qquad m=\pm1,\pm2,\ldots
  • Máximos secundários: são dados pelas soluções de
\tan\beta=\beta,\qquad \text{onde }\beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda},
ou, na prática, pode-se usar a aproximação
a\sin\theta \approx \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda
como primeira estimativa (lembrando que é aproximada).
  • Lembrete prático: largura do lóbulo central ≈ 2\lambda/a. Se precisar de número rápido, essa relação é muito útil para estimar se o padrão será estreito ou amplo.

Resposta

Para mínimos: a\sin\theta = m\lambda, m=\pm1,\pm2,\ldots.
Para máximos secundários: posições dadas pelas soluções de \tan\beta=\beta com \beta=\dfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}; aproximadamente a\sin\theta \approx \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda (aproximação).
Largura angular do máximo central (aproximação): 2\theta_1 \approx \dfrac{2\lambda}{a}.

Exercícios relacionados