Em um problema de difração de fenda única, qual é a relação entre o comprimento de onda da luz e o tamanho da fenda para que ocorram máximos e mínimos de intensidade?
Passo 1
O que o enunciado pergunta e quais dados temos:
- Pergunta: qual é a relação entre o comprimento de onda da luz e o tamanho da fenda para que ocorram máximos e mínimos da intensidade no padrão de difração de fenda única?
- Informações relevantes (variáveis que vamos usar):
-
: comprimento de onda da luz. -
: largura (tamanho) da fenda. -
: ângulo de observação medido a partir da direção central (normal à fenda) até um ponto da tela. -
: intensidade observada na tela no ângulo .
-
- O enunciado não dá números específicos (é uma questão conceitual/analítica): precisamos apresentar as fórmulas que relacionam
, e que determinam máximos e mínimos.
Passo 2
Entendendo o arranjo físico e a aproximação que usamos (Fraunhofer)
- Configuração: uma única fenda de largura
é iluminada por luz monocromática de comprimento de onda . Observa-se o padrão de difração numa tela distante (ou usando lentes para obter o padrão na zona de Fraunhofer). - A aproximação de Fraunhofer (tela muito longe comparada a
) permite modelar o campo na tela como a soma das contribuições de todos os pontos da abertura, com diferenças de fase proporcionais a . - Intuição física curta: cada ponto da fenda emite ondas; em certos ângulos as ondas vindas de diferentes partes da fenda interferem destrutivamente (mínimos) ou parcialmente construtivamente (máximos). A relação entre
e controla onde isso acontece.
Passo 3
Derivação (resumida e didática) da distribuição de intensidade
- Considere a fenda estendendo-se no eixo
com largura . Cada elemento infinitesimal da fenda contribui com uma onda cuja fase varia com a posição e com o ângulo . - Somando (integrando) todas essas contribuições obtemos (resultado padrão da integral de difração):
onde
e
é a intensidade no centro (
).
- Explicação das variáveis na fórmula:
-
é uma medida adimensional da diferença de fase entre extremidades da fenda para um dado ângulo . - A função
é o chamado padrão “sinc ao quadrado” e descreve os lóbulo central (mais brilhante) e os lóbulos secundários (mais fracos) com mínimas entre eles.
-
Passo 4
Condição exata para os mínimos (fácil e importante)
- Os mínimos acontecem sempre que o numerador da função sinc for zero (exceto
que é o máximo central). Assim os mínimos ocorrem quando
- Substituindo
obtemos a condição usual:
- Interpretação prática:
- Para cada inteiro
existe um ângulo dado por onde a intensidade é nula (mínimo). - Essa fórmula mostra a relação direta entre
e : se aumenta (para mesmo ) os mínimos ocorrem em ângulos maiores; se aumenta (para mesmo ) os mínimos se aproximam do eixo (ângulos menores).
- Para cada inteiro
Passo 5
Condição dos máximos (observação e fórmula exata vs. aproximada)
- Ao contrário dos mínimos, os máximos secundários não têm uma condição tão simples e exata em termos de números inteiros. A posição dos máximos corresponde às soluções dos pontos em que a derivada de
em relação a é zero. Isso leva à equação transcendental
- As soluções positivas não-triviais desta equação (
) determinam as posições angulares dos máximos secundários. Não existe uma fórmula fechada simples para a partir de inteiros. - Aproximação útil (usada em exercícios e provas): os máximos secundários ficam aproximadamente entre dois mínimos consecutivos, ou seja, “próximos” de
porém esse valor é apenas aproximado — na prática os máximos secundários estão um pouco deslocados em relação a
. Exemplo numérico: o primeiro mínimo tem
e o primeiro máximo secundário ocorre para
(enquanto
); portanto a aproximação fica razoável mas não exata.
- O máximo central (o lóbulo principal) está em
(corresponde a ) e é muito mais intenso que os máximos secundários.
Passo 6
Consequências práticas e casos limites (regra de bolso para provas)
- Largura angular do lóbulo central: entre os primeiros mínimos
. Assim a semi-ângulo até o primeiro mínimo satisfaz . Para ângulos pequenos isso dá a largura total aproximada do pico central:
- Dependência qualitativa entre
e : - Se
→ muitos mínimos e máximos bem próximos ao eixo; difração estreita (padrão “apertado”). - Se
→ padrão de difração amplo; mínimos e máximos em ângulos grandes. - Se
→ praticamente não aparecem mínimos observáveis (ou seja, não existe tal que ); a fenda se comporta quase como fonte pontual e o padrão é muito difuso (muito espalhado).
- Se
- Número de mínimos observáveis: do mínimo de ordem
é possível se , pois deve ser . Assim se for pequeno, poucos (ou nenhum) mínimos aparecem.
Passo 7
Resumo didático, o que decorar para prova (e o que lembrar na hora)
- Regra fundamental (mínimos, exata e muito usada):
- Máximos secundários: são dados pelas soluções de
ou, na prática, pode-se usar a aproximação
como primeira estimativa (lembrando que é aproximada).
- Lembrete prático: largura do lóbulo central ≈
. Se precisar de número rápido, essa relação é muito útil para estimar se o padrão será estreito ou amplo.
Resposta
Para mínimos:
,
.
Para máximos secundários: posições dadas pelas soluções de
com
; aproximadamente
(aproximação).
Largura angular do máximo central (aproximação):
.