QUESTÃO 02 (2,50 PONTOS) - Em um padrão de interferência com fenda dupla, a intensidade no pico da interferência máxima central é I0. (a) Qual é a intensidade em um ponto da figura de interferência projetada em que a diferença de fase entre as ondas das duas fendas é 60,0^{\circ} ? (b) Qual é a diferença entre os caminhos de uma luz de 480 nm proveniente das duas fendas em um ponto em que a diferença de fase é 60,0^{\circ} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Intensidade no pico da máxima central: I_0.
    • Diferença de fase entre as ondas das duas fendas em um ponto: \delta=60{,}0^\circ.
    • Comprimento de onda da luz: \lambda=480\\ \mathrm{nm}=480\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    (a) Qual a intensidade nesse ponto em função de I_0?
    (b) Qual é a diferença de caminhos \Delta x correspondente a \delta=60{,}0^\circ?

Passo 2

Entendendo como a intensidade resulta da soma das ondas (aula rapidinha e prática).
  • Suponha que as duas ondas chegam com a mesma amplitude instantânea máxima E_0 e estão coerentes (mesma frequência). As duas oscilações podem ser escritas como funções do tempo:
E_1(t)=E_0\cos(\omega t),\qquad E_2(t)=E_0\cos(\omega t+\delta).
  • Use a identidade trigonométrica (soma de cossenos):
\cos a+\cos b = 2\cos\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{a-b}{2}\right).
Aplicando aqui, a soma das duas ondas fica com amplitude resultante
E_{\text{res}}(t)=2E_0\cos\!\left(\tfrac{\delta}{2}\right)\cos\!\left(\omega t+\tfrac{\delta}{2}\right).
  • A intensidade luminosa é proporcional ao quadrado da amplitude média (ou ao valor quadrático eficaz). Assim, se a amplitude resultante é 2E_0\cos(\delta/2), a intensidade no ponto é proporcional a \big(2E_0\cos(\delta/2)\big)^2.
  • No máximo central ( \delta=0) a amplitude resultante é 2E_0 e a intensidade máxima é I_0. Logo, relacionando a intensidade qualquer I com I_0 obtemos a fórmula padrão:
I = I_0\cos^2\!\left(\tfrac{\delta}{2}\right).
Aqui:
  • I é a intensidade no ponto com diferença de fase \delta.
  • I_0 é a intensidade do máximo central (quando \delta=0).
  • \delta é a diferença de fase entre as ondas (em radianos ou graus, desde que se use corretamente nas funções trigonométricas).

Passo 3

Aplicando a fórmula para \delta=60{,}0^\circ.
  • Primeiro calcule \tfrac{\delta}{2}=30{,}0^\circ.
  • Sabendo que \cos 30{,}0^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, então
\cos^2 30{,}0^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}=0{,}75.
  • Portanto a intensidade neste ponto é
I = I_0\cos^2\!\left(30{,}0^\circ\right)=\dfrac{3}{4}I_0 = 0{,}75\,I_0.

Passo 4

Relação entre diferença de fase \delta e diferença de caminho \Delta x (aquela fórmula-chave).
  • Cada comprimento de onda \lambda corresponde a uma variação de fase de 2\pi radianos. Assim a relação é
\delta \;=\; \dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x,
onde:
  • \delta é a diferença de fase (em radianos),
  • \Delta x é a diferença de caminhos entre as duas fendas até o ponto considerado,
  • \lambda é o comprimento de onda.
  • Isolando \Delta x:
\Delta x = \dfrac{\delta}{2\pi}\,\lambda.

Passo 5

Calcular numericamente \Delta x para \delta=60{,}0^\circ e \lambda=480\\ \mathrm{nm}.
  • Converta \delta para radianos:
\delta = 60{,}0^\circ = \dfrac{60{,}0\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}.
  • Substituindo em \Delta x = \dfrac{\delta}{2\pi}\lambda:
\Delta x = \dfrac{\pi/3}{2\pi}\,\lambda = \dfrac{1}{6}\,\lambda.
  • Portanto
\Delta x = \dfrac{\lambda}{6} = \dfrac{480\\ \mathrm{nm}}{6} = 80\\ \mathrm{nm}.
  • Em metros isso é
\Delta x = 80\\ \mathrm{nm} = 8{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: então, com \delta=60{,}0^\circ a intensidade é três quartos do pico — fácil de decorar — e a diferença de caminho deu exatamente \lambda/6, que ficou 80\\ \mathrm{nm} para \lambda=480\\ \mathrm{nm}. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!

Resposta

(a) \dfrac{3}{4}I_0 = 0{,}75\,I_0
(b) \Delta x = 80\\ \mathrm{nm} = 8{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m}

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