Um balão de borracha com volume de 300 \mathrm{~cm}^{3} contém gás hidrogênio, cuja densidade é 9.10^{-5} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. O balão está preso ao chão por um fio.
Calcule:
a força aplicada no fio, considerando a densidade do ar igual a 13.10^{-} { }^{4} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei as densidades e o volume exatamente do enunciado):
V = 300\\ \mathrm{cm^3}
\rho_{\text{H}_2} = 9\cdot10^{-5}\\ \mathrm{g/cm^3}
\rho_{\text{ar}} = 13\cdot10^{-4}\\ \mathrm{g/cm^3} = 1,3\cdot10^{-3}\\ \mathrm{g/cm^3}
A pergunta é: qual é a força aplicada no fio que prende o balão ao chão? (ou seja, qual é a tensão que o fio precisa exercer para segurar o balão).

Passo 2

Qual é a ideia física? Vou explicar passo a passo (chega de macetes — a ideia é entender).
  • O balão desloca ar com volume igual ao seu volume V. Pela Princípio de Arquimedes, a força de empuxo para cima é igual ao peso do ar deslocado.
  • O peso do gás hidrogênio dentro do balão age para baixo.
  • Se o empuxo é maior que o peso do hidrogênio, sobra uma força resultante para cima; o fio precisa aplicar uma força igual e oposta para manter o balão preso. Essa força no fio (tensão) é, em módulo,
T = F_{\text{empuxo}} - W_{\text{H}_2}.
Agora vou traduzir isso em densidades e volume.

Passo 3

Expressando empuxo e peso em termos de densidade:
  • Massa do ar deslocado: m_{\text{ar}} = \rho_{\text{ar}} \, V.
  • Massa do hidrogênio: m_{\text{H}_2} = \rho_{\text{H}_2} \, V.
  • Empuxo: F_{\text{empuxo}} = m_{\text{ar}}\, g = \rho_{\text{ar}} V g.
  • Peso do hidrogênio: W_{\text{H}_2} = m_{\text{H}_2}\, g = \rho_{\text{H}_2} V g.
    Substituindo em T:
T = (\rho_{\text{ar}} - \rho_{\text{H}_2})\, V\, g.
Essa fórmula é muito prática: é a diferença de densidades vezes o volume vezes g. Vou agora calcular passo a passo os números.

Passo 4

Calculemos a diferença de densidades e a massa equivalente:
\rho_{\text{ar}} - \rho_{\text{H}_2} = 1{,}3\cdot10^{-3} - 9\cdot10^{-5} = 1{,}21\cdot10^{-3}\\ \mathrm{g/cm^3}.
Multiplicando pelo volume:
m_{\text{dif}} = (\rho_{\text{ar}} - \rho_{\text{H}_2})\,V = 1{,}21\cdot10^{-3}\times300 = 0{,}363\\ \mathrm{g}.
Esse m_{\text{dif}} é a massa “efetiva” que, multiplicada por g, dá a força que o fio precisa segurar.

Passo 5

Convertemos massa para o SI e usamos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} para obter a força em newtons:
m_{\text{dif}} = 0{,}363\\ \mathrm{g} = 0{,}000363\\ \mathrm{kg}.
T = m_{\text{dif}}\, g = 0{,}000363 \times 9{,}8 = 0{,}0035574\\ \mathrm{N}.
Arredondando com sentido prático (3 algarismos significativos):
T \approx 3{,}56\cdot10^{-3}\\ \mathrm{N}.

Resposta

3{,}56\times10^{-3}\\ \mathrm{N}

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