Um pedaço de cortiça, com densidade igual a 0,24.10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e volume de 240.10^{-6} \mathrm{~m}^{3}, é posto em óleo, com densidade de 0,8.10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Calcule:
o volume emerso (fora do óleo) da cortiça.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume emerso (fora do óleo) de um pedaço de cortiça quando ele flutua em óleo.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • densidade da cortiça: \rho_{\text{cortiça}} = 0,24\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}ç,
  • densidade do óleo: \rho_{\text{óleo}} = 0,8\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}ó,
  • volume total da cortiça: V = 240\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
O que precisa ser encontrado: o volume emerso V_{\text{emerso}} (o volume fora do óleo).

Passo 2

Conceito físico necessário (explicado passo a passo): princípio de Arquimedes.
  • Arquimedes diz que um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo para cima igual ao peso do fluido deslocado por ele.
  • Em equilíbrio (objeto flutuando sem acelerar), o empuxo equilibra o peso do objeto. Ou seja:
\text{empuxo} = \text{peso do corpo}.
Agora explico as quantidades em símbolos:
  • seja V_{s} o volume submerso da cortiça (volume dentro do óleo),
  • seja V_{\text{emerso}} o volume emerso (fora do óleo). Então temos
V = V_{s} + V_{\text{emerso}}.
  • o empuxo vale \rho_{\text{óleo}}\,g\,V_{s}ó, porque é o peso do fluido de volume V_{s},
  • o peso da cortiça vale \rho_{\text{cortiça}}\,g\,Vç.
Em equilíbrio:
\rho_{\text{óleo}}\,g\,V_{s} = \rho_{\text{cortiça}}\,g\,V.óç
Observação útil: a aceleração da gravidade g aparece dos dois lados e cancela, então não precisamos do seu valor numérico.

Passo 3

Isolando V_{s} da equação de equilíbrio:
V_{s} = \frac{\rho_{\text{cortiça}}}{\rho_{\text{óleo}}}\,V.çó
Em seguida calculamos o volume emerso por V_{\text{emerso}} = V - V_{s}. Substituindo V_{s}:
V_{\text{emerso}} = V - \frac{\rho_{\text{cortiça}}}{\rho_{\text{óleo}}}\,V = V\left(1 - \frac{\rho_{\text{cortiça}}}{\rho_{\text{óleo}}}\right).çóçó
Isso é uma fórmula geral prática: a fração emersa é 1 - \rho_{\text{obj}}/\rho_{\text{fluido}}.

Passo 4

Agora vamos aplicar os números do enunciado. Primeiro a razão das densidades:
\frac{\rho_{\text{cortiça}}}{\rho_{\text{óleo}}} = \frac{0,24\times 10^{3}}{0,8\times 10^{3}} = \frac{0,24}{0,8} = 0,3.çó
Portanto V_{s}=0,3\,V e a fração emersa é 1-0,3=0,7.

Passo 5

Calcular numericamente V_{\text{emerso}}:
V_{\text{emerso}} = 0,7 \times V = 0,7 \times \left(240\times 10^{-6}\right)\\ \mathrm{m^{3}}.
Faço a multiplicação:
0,7 \times 240 = 168,
então
V_{\text{emerso}} = 168\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}} = 1,68\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.
Interpretação rápida: 70\% do volume da cortiça fica fora do óleo, porque a cortiça é bem menos densa que o óleo.

Resposta

V_{\text{emerso}} = 1,68\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}

Exercícios relacionados