Um cubo de massa igual a 32 kg é sustentada parcialmente por um fio ideal no interior de um recipiente com um líquido. A aresta do cubo mede 20 cm . Determine a tensão no fio, em newton. Dados: densidade do líquido é 2000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Calcule a tensão de tração considerando que o fio tenha 1 cm de diâmetro. Resp: 160 \mathrm{~N} ; 2,0 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Massa do cubo: \displaystyle m=32\\ \mathrm{kg}.
  • Aresta do cubo: \displaystyle a=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Densidade do líquido: \displaystyle \rho=2000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Diâmetro do fio: \displaystyle d=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Pede-se a tensão no fio (em newton) e, considerando o fio com o diâmetro dado, a tensão de tração (tensão normal) no material do fio (em MPa).
  • Observação prática: para obter o resultado pedido no enunciado (resposta fornecida), adotaremos g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Calcular o volume do cubo (conversão de unidades e fórmula):
  • A fórmula do volume de um cubo de aresta \,a é \displaystyle V=a^{3}.
  • Substituindo \displaystyle a=0,20\\ \mathrm{m}:
V=(0,20\\ \mathrm{m})^{3}=0,008\\ \mathrm{m^{3}}.
Explanação rápida: volume é a quantidade de espaço ocupado; aqui é só cubo simples, por isso a^{3}.

Passo 3

Calcular o peso do cubo (força gravitacional):
  • A fórmula do peso (força) é \displaystyle W=m\,g, onde \displaystyle m é a massa e \displaystyle g a aceleração da gravidade.
  • Usando \displaystyle m=32\\ \mathrm{kg} e \displaystyle g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
W=32\cdot 10 = 320\\ \mathrm{N}.
Explicação: o peso é uma força apontando para baixo; unidades em newton.

Passo 4

Calcular a força de empuxo (princípio de Arquimedes):
  • Arquimedes diz que a força de empuxo para um corpo totalmente submerso é igual ao peso do fluido deslocado: \displaystyle B=\rho\,V\,g.
  • Aqui \displaystyle \rho é a densidade do líquido, \displaystyle V é o volume do corpo submerso (o cubo) e \displaystyle g é a gravidade.
  • Substituindo os valores:
B=2000\cdot 0,008\cdot 10 = 160\\ \mathrm{N}.
Comentário: o empuxo atua para cima e “alivia” parte do peso do cubo.

Passo 5

Relação de equilíbrio vertical e cálculo da tensão no fio:
  • Como o cubo está em equilíbrio (suspenso), a soma das forças verticais é zero. Tomando para cima positivo:
T + B - W = 0,
onde \displaystyle T é a tensão no fio. Logo
T = W - B.
  • Substituindo os valores obtidos:
T = 320 - 160 = 160\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a corda precisa sustentar a diferença entre o peso e o empuxo.

Passo 6

Calcular a área da seção transversal do fio (para obter tensão de tração):
  • Para um fio cilíndrico com diâmetro \displaystyle d, o raio é \displaystyle r=d/2.
  • Aqui \displaystyle d=0,01\\ \mathrm{m}, então \displaystyle r=0,005\\ \mathrm{m}.
  • A área da seção é \displaystyle A=\pi r^{2}. Logo
A=\pi (0,005)^{2} \approx 7,85398\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação: a área é a região perpendicular à força pela qual a força é aplicada.

Passo 7

Calcular a tensão de tração no fio (força por área) e converter para MPa:
  • A tensão (esforço normal) é \displaystyle \sigma=\dfrac{T}{A}, onde \displaystyle T é a força (tensão) e \displaystyle A é a área.
  • Substituindo \displaystyle T=160\\ \mathrm{N} e \displaystyle A\approx 7,85398\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}:
\sigma=\dfrac{160}{7,85398\times 10^{-5}}\approx 2,0379\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Convertendo para megapascals ( 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}):
\sigma \approx 2,04\\ \mathrm{MPa}\approx 2,0\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: isso é a “pressão” interna que o material do fio sente devido à tração.

Resposta

160\\ \mathrm{N}
2,0\\ \mathrm{MPa}

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