Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da superficie \left(S=4 \pi r^{2}\right) em relação ao raio r quando r é 20 cm,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A área da superfície do balão é S=4\pi r^{2}.
Quer-se a taxa de crescimento da área em relação ao raio quando r=20\\ \text{cm}.
O que é pedido: calcular \dfrac{dS}{dr} e avaliar esse valor em r=20\\ \text{cm}.
Passo 2
Entendendo o que significa \dfrac{dS}{dr}: é a taxa instantânea de variação de S quando o raio r muda — ou seja, quanto a área varia por unidade de aumento do raio. Em cálculo, isso é definido pela diferença quociente no limite:
\frac{dS}{dr}=\lim_{h\to0}\frac{S(r+h)-S(r)}{h}.
Fisicamente, se \dfrac{dS}{dr}=k num certo r, então aumentar r em uma pequena quantidade \Delta r aumenta S aproximadamente em k\,\Delta r.
Passo 3
Regra prática que vamos usar (justificada pela definição acima):
Regra do poder: a derivada de r^{2} em relação a r é 2r. Podemos mostrar isso rapidamente:
Unidade: \dfrac{dS}{dr} tem unidade de área por unidade de comprimento, isto é, \text{cm}^{2}/\text{cm}=\text{cm}. Então o valor pode ser escrito como 160\pi\\ \text{cm} (exato) ou aproximadamente 502,65\\ \text{cm}.
Passo 6
Pequeno reforço para a prova: ao ver uma fórmula do tipo S=k r^{n}, a derivada é \dfrac{dS}{dr}=k n r^{n-1}. Aqui k=4\pi e n=2, daí surgiu 8\pi r. Essa é uma coisa ótima para memorizar — acelera bastante na prova!