Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da superficie \left(S=4 \pi r^{2}\right) em relação ao raio r quando r é 20 cm,

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A área da superfície do balão é S=4\pi r^{2}.
  • Quer-se a taxa de crescimento da área em relação ao raio quando r=20\\ \text{cm}.
O que é pedido: calcular \dfrac{dS}{dr} e avaliar esse valor em r=20\\ \text{cm}.

Passo 2

Entendendo o que significa \dfrac{dS}{dr}: é a taxa instantânea de variação de S quando o raio r muda — ou seja, quanto a área varia por unidade de aumento do raio. Em cálculo, isso é definido pela diferença quociente no limite:
\frac{dS}{dr}=\lim_{h\to0}\frac{S(r+h)-S(r)}{h}.
Fisicamente, se \dfrac{dS}{dr}=k num certo r, então aumentar r em uma pequena quantidade \Delta r aumenta S aproximadamente em k\,\Delta r.

Passo 3

Regra prática que vamos usar (justificada pela definição acima):
  • Regra do poder: a derivada de r^{2} em relação a r é 2r. Podemos mostrar isso rapidamente:
\frac{d}{dr}\big(r^{2}\big)=\lim_{h\to0}\frac{(r+h)^{2}-r^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2rh+h^{2}}{h}=\lim_{h\to0}(2r+h)=2r.
  • Regra da constante: uma constante multiplicativa sai da derivada. Ou seja, se S(r)=c\cdot f(r) então \dfrac{dS}{dr}=c\cdot f'(r).

Passo 4

Aplicando essas regras a S=4\pi r^{2}:
\frac{dS}{dr}=4\pi\cdot\frac{d}{dr}\big(r^{2}\big)=4\pi\cdot(2r)=8\pi r.
Isto significa que, para qualquer raio r, a taxa de crescimento da área em função de r é 8\pi r.

Passo 5

Agora avaliaremos em r=20\\ \text{cm}. Substituindo:
\left.\frac{dS}{dr}\right|_{r=20}=8\pi\cdot 20=(8\cdot 20)\pi=160\pi.
Para ter uma ideia numérica, usando \pi\approx 3,14159:
160\pi\approx 160\cdot 3,14159=502,6544\approx 502,65.
Unidade: \dfrac{dS}{dr} tem unidade de área por unidade de comprimento, isto é, \text{cm}^{2}/\text{cm}=\text{cm}. Então o valor pode ser escrito como 160\pi\\ \text{cm} (exato) ou aproximadamente 502,65\\ \text{cm}.

Passo 6

Pequeno reforço para a prova: ao ver uma fórmula do tipo S=k r^{n}, a derivada é \dfrac{dS}{dr}=k n r^{n-1}. Aqui k=4\pi e n=2, daí surgiu 8\pi r. Essa é uma coisa ótima para memorizar — acelera bastante na prova!

Resposta

\displaystyle \left.\frac{dS}{dr}\right|_{r=20}=160\pi\\ \text{cm}
\displaystyle \approx 502,65\\ \text{cm}

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