Questão 4. Resolva o PVI a seguir.
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-x} \cos (2 x) \\\ y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
Pelo método dos coeficientes a determinar.
i) (0.1) Escreveu a equação característica m^{2}+2 m+5=0 para a equação homogênea associada.
ii) (0.2) Resolveu a equação característica e obteve m_{1}=-1+2 i e m_{2}=-1-2 i.
iii) (0.2) Concluiu que a solução da homogênea associada é y_{h}(x)=c_{1} e^{-x} \cos (2 x)+c_{2} e^{-x} \operatorname{sen}(2 x).
iv) (1.0) Encontrou corretamente uma solução particular y_{p}.
v) (0.2) Escreveu a solução geral da forma y(x)=c_{1} e^{-x} \cos (2 x)+c_{2} e^{-x} \operatorname{sen}(2 x)+y_{p}(x).
vi) (0.2) Derivou y(x) corretamente.
vii) (0.2) Aplicou y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0 para obter um sistema linear envolvendo c_{1} e c_{2}.
viii) (0.2) Resolveu corretamente o sistema.
ix) (0.2) Escreveu a solução final do PVI.
Pelo método da variação dos parâmetros.
i) (0.1) Escreveu a equação característica m^{2}+2 m+5=0 para a equação homogênea associada.
ii) (0.2) Resolveu a equação característica e obteve m_{1}=-1+2 i e m_{2}=-1-2 i.
iii) (0.2) Concluiu que a solução da homogênea associada é y_{h}(x)=c_{1} e^{-x} \cos (2 x)+c_{2} e^{-x} \operatorname{sen}(2 x).
iv) (0.2) Calculou W\left\{e^{-x} \cos (2 x), e^{-x} \operatorname{sen}(2 x)\right\}=2 e^{-2 x}.
v) (0.15) Escreveu corretamente u_{1}^{\prime}(x)=-2 \operatorname{sen}(2 x) \cos (2 x).
vi) (0.15) Escreveu corretamente u_{2}^{\prime}(x)=2 \cos ^{2}(2 x).
vii) (0.2) Calculou corretamente u_{1}.
viii) (0.2) Calculou corretamente u_{2}.
ix) (0.15) Escreveu a solução particular y_{p}(x)=u_{1}(x) y_{1}(x)+u_{2}(x) y_{2}(x).
x) (0.15) Escreveu corretamente a solução geral y(x)=c_{1} e^{-x} \cos (2 x)+c_{2} e^{-x} \operatorname{sen}(2 x)+y_{p}(x).
xi) (0.2) Derivou y(x) corretamente.
xii) (0.2) Aplicou y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0 para obter um sistema envolvendo c_{1} e c_{2}.
xiii) (0.2) Resolveu corretamente o sistema.
xiv) (0.2) Escreveu a solução final do PVI.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Temos o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-x} \cos (2 x),\\[4pt] y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=0. \end{array}\right.
  • Pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial não-homogênea e as condições iniciais.
  • Informação útil do enunciado:
    • Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
    • Termo não-homogêneo (forçante) é 4 e^{-x}\cos(2x).
    • Para resolver usaremos (1) método dos coeficientes a determinar e (2) método da variação dos parâmetros — ambos devem produzir a mesma solução final.]

Passo 2

Equação homogênea associada e sua solução geral.
  • Escrevemos a equação característica associada à homogênea
m^{2}+2m+5=0.
  • Resolvendo a quadrática:
m=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=-1\pm 2i.
  • Como as raízes são complexas conjugadas -1\pm 2i, a solução real geral da homogênea é
y_h(x)=c_{1}e^{-x}\cos(2x)+c_{2}e^{-x}\sin(2x),
onde c_{1},c_{2} são constantes arbitrárias.
(Explicação rápida e didática: raízes \alpha\pm i\beta geram soluções e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Aqui \alpha=-1 e \beta=2.)

Passo 3

Método dos coeficientes a determinar — escolher o ansatz particular (princípio da ressonância).
  • A forçante é 4 e^{-x}\cos(2x). Note que e^{-x}\cos(2x) e e^{-x}\sin(2x) já aparecem na solução homogênea: isso é ressonância.
  • Regra prática: se o termo for e^{\lambda x}P(x)\cos(\omega x) (ou \sin), e \lambda\pm i\omega é raiz simples do polinômio característico, multiplica-se a forma “normal” por x.
  • Assim tentamos um particular da forma
y_p(x)=x e^{-x}\bigl(A\cos(2x)+B\sin(2x)\bigr),
com constantes A,B a determinar.
(Observação didática: multiplicamos por x porque e^{-x}\cos(2x) é solução da homogênea; se a raiz fosse dupla multiplicaríamos por x^2, etc.)

Passo 4

Cálculo de A e B — uso do truque complexo (mais rápido e limpo).
  • Trabalhamos com funções complexas: escrevemos a forçante como a parte real de 4e^{-x}e^{2ix}=4e^{(-1+2i)x}.
  • Seja r=-1+2i. Para o operador linear L(D)=D^{2}+2D+5 (onde D representa derivação), vale a fórmula geral
L\bigl(x e^{rx}\bigr)=L(r)\,x e^{rx}+L'(r)\,e^{rx}.
  • Como r é raiz de L, temos L(r)=0, então
L\bigl(x e^{rx}\bigr)=L'(r)\,e^{rx}.
  • Aqui o polinômio característico é p(m)=m^{2}+2m+5, logo p'(m)=2m+2. Avaliando em r:
p'(r)=2(-1+2i)+2=4i.
  • Procuro uma solução particular complexa da forma Y_p=C\,x e^{rx}. Aplicando L obtemos
L[Y_p]=C\,p'(r)\,e^{rx}=C\cdot 4i\,e^{rx}.
Queremos que L[Y_p]=4e^{rx} (porque a parte real de 4e^{rx} é nossa forçante). Assim
C\cdot 4i = 4 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{4}{4i}=\frac{1}{i}=-i.
  • Portanto Y_p=-i\,x e^{rx}=-i\,x e^{(-1+2i)x}. A solução particular real é a parte real de Y_p. Calculando:
-i e^{2ix}=-i(\cos 2x + i\sin 2x)=\sin 2x - i\cos 2x,
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y_p(x)=\Re\bigl(Y_p\bigr)=x e^{-x}\sin 2x.
(Interpretação: com esse y_p temos L[y_p]=4e^{-x}\cos2x. O uso do método complexo economiza cálculo direto de derivadas longas.)

Passo 5

Solução geral e aplicação das condições iniciais (método dos coeficientes).
  • A solução geral é
y(x)=c_{1}e^{-x}\cos 2x + c_{2}e^{-x}\sin 2x + x e^{-x}\sin 2x.
  • Vamos derivar y(x) passo a passo (mostrar como fazer na prova sem pular etapas).
Escreva y como soma de duas partes:
y(x)=e^{-x}\bigl(c_{1}\cos 2x + c_{2}\sin 2x\bigr) + x e^{-x}\sin 2x.
Derivando a primeira parte (produto e^{-x}\cdot A(x), com A(x)=c_{1}\cos 2x+c_{2}\sin 2x):
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}A(x)\bigr)=e^{-x}\bigl(A'(x)-A(x)\bigr).
Aqui A'(x)=-2c_{1}\sin 2x + 2c_{2}\cos 2x. Então a derivada da primeira parte é
e^{-x}\bigl(-2c_{1}\sin 2x + 2c_{2}\cos 2x - c_{1}\cos 2x - c_{2}\sin 2x\bigr).
Derivando a segunda parte x e^{-x}\sin 2x por produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\sin 2x\bigr)=e^{-x}\sin 2x + x e^{-x}\bigl(2\cos 2x - \sin 2x\bigr).
Somando, obtemos (organizando os termos)
y'(x)=e^{-x}\Bigl(-c_{1}\cos 2x-2c_{1}\sin 2x + 2c_{2}\cos 2x-c_{2}\sin 2x + \sin 2x + x(2\cos 2x - \sin 2x)\Bigr).
  • Agora aplicamos as condições iniciais.
Para x=0: \cos 0=1, \sin 0=0, e^{0}=1.
y(0)=c_{1}=1 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=1.
Para y'(0)=0: substituindo x=0 na expressão de y'(x) (os termos com x desaparecem)
y'(0)= -c_{1} + 2c_{2} =0.
Com c_{1}=1 obtemos 2c_{2}=1, logo c_{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Solução final obtida pelo método dos coeficientes a determinar.
  • Substituindo c_{1}=1 e c_{2}=\tfrac{1}{2} na solução geral:
y(x)=e^{-x}\cos 2x + \tfrac{1}{2}e^{-x}\sin 2x + x e^{-x}\sin 2x.
Podemos factorar e^{-x}:
y(x)=e^{-x}\Bigl(\cos 2x + \bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)\sin 2x\Bigr).

Passo 7

Método da variação dos parâmetros — configurar as soluções fundamentais e o Wronskiano.
  • Tomamos as soluções fundamentais da homogênea
y_{1}(x)=e^{-x}\cos 2x,\qquad y_{2}(x)=e^{-x}\sin 2x.
  • Calculamos o Wronskiano W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Primeiro derivadas:
y_{1}'=e^{-x}(-\cos 2x -2\sin 2x),\qquad y_{2}'=e^{-x}(-\sin 2x +2\cos 2x).
Multiplicando e simplificando:
W(x)=e^{-2x}\bigl(2\cos^{2}2x+2\sin^{2}2x\bigr)=2e^{-2x}.
(Verificação rápida: \cos^2+\sin^2=1.)

Passo 8

Formulas de variação dos parâmetros e cálculo de u_{1}',u_{2}'.
  • Para a equação y''+2y'+5y=g(x) as fórmulas padrão são
u_{1}'=-\frac{g(x)\,y_{2}}{W},\qquad u_{2}'=\frac{g(x)\,y_{1}}{W}.
Aqui g(x)=4e^{-x}\cos 2x. Substituindo y_{1},y_{2},W:
u_{1}'=-\frac{4e^{-x}\cos 2x\cdot e^{-x}\sin 2x}{2e^{-2x}}=-2\sin 2x\cos 2x,
u_{2}'=\frac{4e^{-x}\cos 2x\cdot e^{-x}\cos 2x}{2e^{-2x}}=2\cos^{2}2x.
(Isto confere com o enunciado-padrão.)

Passo 9

Integração para obter u_{1} e u_{2}.
  • Integramos u_{1}':
u_{1}(x)=\int -2\sin 2x\cos 2x\,dx.
Usando a identidade 2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x, obtemos
u_{1}(x)=\int -\sin 4x\,dx=\tfrac{1}{4}\cos 4x + C_{1}.
  • Integramos u_{2}':
u_{2}(x)=\int 2\cos^{2}2x\,dx=\int (1+\cos 4x)\,dx = x + \tfrac{1}{4}\sin 4x + C_{2}.
  • Comentário sobre constantes C_{1},C_{2}: escolher diferentes constantes apenas adiciona combinações lineares das soluções homogêneas à solução particular; é conveniente escolher os constantes para simplificar y_{p}. Tomaremos C_{2}=0 e C_{1}=-\tfrac{1}{4} (essa escolha elimina um termo homogêneo extra e torna y_{p} igual ao que obtivemos antes). Assim
u_{1}(x)=\tfrac{1}{4}\cos 4x -\tfrac{1}{4},\qquad u_{2}(x)=x+\tfrac{1}{4}\sin 4x.

Passo 10

Construção e simplificação da solução particular via variação dos parâmetros.
  • A solução particular é
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituindo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}=e^{-x}\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{4}\cos 4x -\tfrac{1}{4}\bigr)\cos 2x + \bigl(x+\tfrac{1}{4}\sin 4x\bigr)\sin 2x\Bigr).
  • Simplificando os termos trigonométricos usando a identidade
\cos 4x\cos 2x + \sin 4x\sin 2x = \cos(4x-2x)=\cos 2x,
obtemos
y_{p}=e^{-x}\Bigl(x\sin 2x + \tfrac{1}{4}\cos 2x -\tfrac{1}{4}\cos 2x\Bigr)=x e^{-x}\sin 2x.
(As parcelas com \tfrac{1}{4}\cos 2x cancelam por nossa escolha C_{1}=-\tfrac{1}{4}. Assim obtemos o mesmo y_{p} que no método anterior.)

Passo 11

Solução geral pelo método da variação de parâmetros e aplicação das condições iniciais.
  • A solução geral é, como antes,
y(x)=c_{1}e^{-x}\cos 2x + c_{2}e^{-x}\sin 2x + x e^{-x}\sin 2x.
  • Como a solução geral coincide com a obtida pelo método anterior, as condições iniciais geram o mesmo sistema:
y(0)=c_{1}=1,\qquad y'(0)=-c_{1}+2c_{2}=0 \Rightarrow c_{2}=\tfrac{1}{2}.
  • Assim as constantes são c_{1}=1,\;c_{2}=\tfrac{1}{2} e a solução final é a mesma.

Resposta

y(x)=e^{-x}\Bigl(\cos 2x + \bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)\sin 2x\Bigr).

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