Questão 4. Resolva o PVI a seguir.
Pelo método dos coeficientes a determinar.
i) (0.1) Escreveu a equação característica
para a equação homogênea associada.
ii) (0.2) Resolveu a equação característica e obteve
e
.
iii) (0.2) Concluiu que a solução da homogênea associada é
.
iv) (1.0) Encontrou corretamente uma solução particular
.
v) (0.2) Escreveu a solução geral da forma
.
vi) (0.2) Derivou
corretamente.
vii) (0.2) Aplicou
e
para obter um sistema linear envolvendo
e
.
viii) (0.2) Resolveu corretamente o sistema.
ix) (0.2) Escreveu a solução final do PVI.
Pelo método da variação dos parâmetros.
i) (0.1) Escreveu a equação característica
para a equação homogênea associada.
ii) (0.2) Resolveu a equação característica e obteve
e
.
iii) (0.2) Concluiu que a solução da homogênea associada é
.
iv) (0.2) Calculou
.
v) (0.15) Escreveu corretamente
.
vi) (0.15) Escreveu corretamente
.
vii) (0.2) Calculou corretamente
.
viii) (0.2) Calculou corretamente
.
ix) (0.15) Escreveu a solução particular
.
x) (0.15) Escreveu corretamente a solução geral
.
xi) (0.2) Derivou
corretamente.
xii) (0.2) Aplicou
e
para obter um sistema envolvendo
e
.
xiii) (0.2) Resolveu corretamente o sistema.
xiv) (0.2) Escreveu a solução final do PVI.
i) (0.1) Escreveu a equação característica
ii) (0.2) Resolveu a equação característica e obteve
iii) (0.2) Concluiu que a solução da homogênea associada é
iv) (1.0) Encontrou corretamente uma solução particular
v) (0.2) Escreveu a solução geral da forma
vi) (0.2) Derivou
vii) (0.2) Aplicou
viii) (0.2) Resolveu corretamente o sistema.
ix) (0.2) Escreveu a solução final do PVI.
i) (0.1) Escreveu a equação característica
ii) (0.2) Resolveu a equação característica e obteve
iii) (0.2) Concluiu que a solução da homogênea associada é
iv) (0.2) Calculou
v) (0.15) Escreveu corretamente
vi) (0.15) Escreveu corretamente
vii) (0.2) Calculou corretamente
viii) (0.2) Calculou corretamente
ix) (0.15) Escreveu a solução particular
x) (0.15) Escreveu corretamente a solução geral
xi) (0.2) Derivou
xii) (0.2) Aplicou
xiii) (0.2) Resolveu corretamente o sistema.
xiv) (0.2) Escreveu a solução final do PVI.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Temos o problema de valor inicial (PVI)
- Pedido: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial não-homogênea e as condições iniciais. - Informação útil do enunciado:
- Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Termo não-homogêneo (forçante) é
. - Para resolver usaremos (1) método dos coeficientes a determinar e (2) método da variação dos parâmetros — ambos devem produzir a mesma solução final.]
Passo 2
Equação homogênea associada e sua solução geral.
- Escrevemos a equação característica associada à homogênea
- Resolvendo a quadrática:
- Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução real geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
(Explicação rápida e didática: raízes
geram soluções
e
. Aqui
e
.)
Passo 3
Método dos coeficientes a determinar — escolher o ansatz particular (princípio da ressonância).
- A forçante é
. Note que e já aparecem na solução homogênea: isso é ressonância. - Regra prática: se o termo for
(ou ), e é raiz simples do polinômio característico, multiplica-se a forma “normal” por . - Assim tentamos um particular da forma
com constantes
a determinar.
(Observação didática: multiplicamos por
porque
é solução da homogênea; se a raiz fosse dupla multiplicaríamos por
, etc.)
Passo 4
Cálculo de
e
— uso do truque complexo (mais rápido e limpo).
- Trabalhamos com funções complexas: escrevemos a forçante como a parte real de
. - Seja
. Para o operador linear (onde representa derivação), vale a fórmula geral
- Como
é raiz de , temos , então
- Aqui o polinômio característico é
, logo . Avaliando em :
- Procuro uma solução particular complexa da forma
. Aplicando obtemos
Queremos que
(porque a parte real de
é nossa forçante). Assim
- Portanto
. A solução particular real é a parte real de . Calculando:
logo
(Interpretação: com esse
temos
. O uso do método complexo economiza cálculo direto de derivadas longas.)
Passo 5
Solução geral e aplicação das condições iniciais (método dos coeficientes).
- A solução geral é
- Vamos derivar
passo a passo (mostrar como fazer na prova sem pular etapas).
Escreva
como soma de duas partes:
Derivando a primeira parte (produto
, com
):
Aqui
. Então a derivada da primeira parte é
Derivando a segunda parte
por produto:
Somando, obtemos (organizando os termos)
- Agora aplicamos as condições iniciais.
Para
:
,
,
.
Para
: substituindo
na expressão de
(os termos com
desaparecem)
Com
obtemos
, logo
.
Passo 6
Solução final obtida pelo método dos coeficientes a determinar.
- Substituindo
e na solução geral:
Podemos factorar
:
Passo 7
Método da variação dos parâmetros — configurar as soluções fundamentais e o Wronskiano.
- Tomamos as soluções fundamentais da homogênea
- Calculamos o Wronskiano
.
Primeiro derivadas:
Multiplicando e simplificando:
(Verificação rápida:
.)
Passo 8
Formulas de variação dos parâmetros e cálculo de
.
- Para a equação
as fórmulas padrão são
Aqui
. Substituindo
:
(Isto confere com o enunciado-padrão.)
Passo 9
Integração para obter
e
.
- Integramos
:
Usando a identidade
, obtemos
- Integramos
:
- Comentário sobre constantes
: escolher diferentes constantes apenas adiciona combinações lineares das soluções homogêneas à solução particular; é conveniente escolher os constantes para simplificar . Tomaremos e (essa escolha elimina um termo homogêneo extra e torna igual ao que obtivemos antes). Assim
Passo 10
Construção e simplificação da solução particular via variação dos parâmetros.
- A solução particular é
Substituindo
:
- Simplificando os termos trigonométricos usando a identidade
obtemos
(As parcelas com
cancelam por nossa escolha
. Assim obtemos o mesmo
que no método anterior.)
Passo 11
Solução geral pelo método da variação de parâmetros e aplicação das condições iniciais.
- A solução geral é, como antes,
- Como a solução geral coincide com a obtida pelo método anterior, as condições iniciais geram o mesmo sistema:
- Assim as constantes são
e a solução final é a mesma.