Um balão foi visto simultaneamente de três estações
e
sob ângulos de elevação de
e
, respectivamente. Sabendo que
está 3 km a oeste de
e que
está 4 km ao norte de
, determine a algura do balão.
Passo 1
O enunciado diz que um balão foi observado simultaneamente de três estações
,
e
com ângulos de elevação
,
e
. Sabemos que
está
,km a oeste de
e
está
,km ao norte de
. Precisamos determinar a altura
do balão. Vamos usar trigonometria (tangente do ângulo de elevação em triângulo retângulo) e coordenadas no plano horizontal para obter um sistema de equações em
.
Passo 2
Escolhemos um sistema de eixos:
na origem
, eixo
positivo para leste e eixo
positivo para norte. Assim
e o balão está em
. A distância horizontal de
ao balão é
de
é
e de
é
Como
, temos
Passo 3
Das duas primeiras igualdades obtemos
Escrevendo em coordenadas:
Passo 4
Da primeira e da terceira igualdades temos
Em coordenadas:
Passo 5
Resolvemos o sistema
Da primeira,
. Substituindo na segunda e simplificando, obtém-se
Escolhendo a raiz que dá um ponto a oeste de
, ficamos com
Passo 6
A altura é
. Substituindo,
Resposta
A altura do balão é aproximadamente
km.