Um balão foi visto simultaneamente de três estações A, B e C sob ângulos de elevação de 45^{\circ}, 45^{\circ} e 60^{\circ}, respectivamente. Sabendo que A está 3 km a oeste de C e que B está 4 km ao norte de C, determine a algura do balão.

Passo 1

O enunciado diz que um balão foi observado simultaneamente de três estações A, B e C com ângulos de elevação \alpha_A=45^\circ, \alpha_B=45^\circ e \alpha_C=60^\circ. Sabemos que A está 3,km a oeste de C e B está 4,km ao norte de C. Precisamos determinar a altura h do balão. Vamos usar trigonometria (tangente do ângulo de elevação em triângulo retângulo) e coordenadas no plano horizontal para obter um sistema de equações em (x,y,h).

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos: C na origem (0,0), eixo x positivo para leste e eixo y positivo para norte. Assim
A = (-3,0), \quad B = (0,4), \quad C = (0,0),
e o balão está em (x,y,h). A distância horizontal de A ao balão é
d_A = \sqrt{(x+3)^2 + y^2},
de B é
d_B = \sqrt{x^2 + (y-4)^2},
e de C é
d_C = \sqrt{x^2 + y^2}.
Como \tan\alpha = h/d, temos
\tan45^\circ = 1 = \frac{h}{d_A}, \quad \tan45^\circ = 1 = \frac{h}{d_B}, \quad \tan60^\circ = \sqrt3 = \frac{h}{d_C}.

Passo 3

Das duas primeiras igualdades obtemos
h = d_A, \quad h = d_B \;\Longrightarrow\; d_A^2 = d_B^2.
Escrevendo em coordenadas:
(x+3)^2 + y^2 = x^2 + (y-4)^2 \;\Longrightarrow\; x^2 +6x+9 + y^2 = x^2 + y^2 -8y +16 \;\Longrightarrow\; 6x + 8y = 7.

Passo 4

Da primeira e da terceira igualdades temos
d_A = h = \sqrt3\,d_C \;\Longrightarrow\; d_A^2 = 3\,d_C^2.
Em coordenadas:
(x+3)^2 + y^2 = 3\bigl(x^2 + y^2\bigr) \;\Longrightarrow\; x^2 +6x+9 + y^2 = 3x^2 +3y^2 \;\Longrightarrow\; x^2 + y^2 -3x = 4{,}5.

Passo 5

Resolvemos o sistema
6x + 8y = 7, \quad x^2 + y^2 -3x = 4{,}5.
Da primeira, y = \tfrac{7-6x}{8}. Substituindo na segunda e simplificando, obtém-se
100x^2 -276x -239 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{69 \pm 4\sqrt{671}}{50}.
Escolhendo a raiz que dá um ponto a oeste de C, ficamos com
x \approx -0{,}692\quad\text{e}\quad y = \frac{7-6x}{8}\approx 1{,}394.

Passo 6

A altura é h = d_A = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}. Substituindo,
h \approx \sqrt{(2{,}3078)^2 + (1{,}394)^2} \approx 2{,}697\text{ km}.

Resposta

A altura do balão é aproximadamente 2{,}70 km.

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