Um balão mantém a forma de uma esfera quando é inflado com uma taxa de variação do raio de 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Encontre a taxa de variação do volume no instante em que o raio é igual a 6 cm .

Passo 1

O enunciado dá um balão esférico cujo raio varia a uma taxa de \frac{dr}{dt}=1\text{ cm/s} e pede a taxa de variação do volume \frac{dV}{dt} quando r=6\text{ cm}. Vamos usar o conceito de derivadas para relacionar volume e raio em uma esfera.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera em função do raio é
V = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Precisamos diferenciar essa relação em relação ao tempo t.

Passo 3

Aplicando a derivada em ambos os lados e usando a regra da cadeia, obtemos
\frac{dV}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\Bigr) =4\pi r^{2}\,\frac{dr}{dt}.

Passo 4

No instante em que r=6\text{ cm} e \frac{dr}{dt}=1\text{ cm/s}, temos
\frac{dV}{dt} =4\pi\,(6)^{2}\times1 =144\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{dV}{dt}=144\pi\text{ cm}^{3}/\text{s}.

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