Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uua das funçōes:
f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o domínio de
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}}
e em seguida fazermos um esboço desse domínio no plano xy. O conteúdo envolvido é análise de domínio em funções de duas variáveis, levando em conta que:
  1. O radicando de uma raiz quadrada deve ser não–negativo.
  2. O denominador de uma fração não pode ser zero.

Passo 2

Para que \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} exista em \mathbb{R}, precisamos de
9 - x^{2} - y^{2} \ge 0.
Além disso, como esse valor fica no denominador, não podemos ter raiz zero, ou seja,
9 - x^{2} - y^{2} > 0.

Passo 3

A desigualdade
9 - x^{2} - y^{2} > 0
é equivalente a
x^{2} + y^{2} < 9.
Isso significa que o domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) dentro do círculo de raio 3 centrado na origem, sem incluir a fronteira.

Resposta

O domínio é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2} + y^{2} < 9\}.
Esboço: um disco aberto de raio 3 no plano xy, centrado em (0,0), sem a circunferência de raio 3.

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