Um balão metálico esférico está carregado positivamente. Descreva a distribuição das cargas na superfície e o comportamento do campo elétrico dentro e fora da esfera.

Passo 1

O enunciado pede que a gente use a teoria de condutores em equilíbrio e a Lei de Gauss para descrever onde ficam as cargas num balão metálico esférico carregado positivamente e como é o campo elétrico dentro e fora da esfera.

Passo 2

Em um condutor em equilíbrio eletrostático todas as cargas livres migram para a superfície externa. Por simetria esférica, a densidade superficial de carga é uniforme, dada por
\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2},
onde Q é a carga total e R o raio da esfera.

Passo 3

Para r<R (dentro do condutor), não há campo elétrico interno. Se houvesse \vec{E}\neq0, as cargas se moveriam e o equilíbrio se perderia. Alternativamente, pela Lei de Gauss numa superfície dentro do metal:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\rm int}}{\epsilon_0} = 0
implica \vec{E}=0.

Passo 4

Para r>R (fora da esfera), escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. Da Lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\Rightarrow E(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{r}.
Ou seja, fora a esfera o campo é radial e decai como 1/r^2, exatamente como se toda carga Q estivesse concentrada no centro.

Resposta

As cargas se concentram uniformemente na superfície externa da esfera \sigma = Q/(4\pi R^2).
Dentro do condutor r<R o campo elétrico é nulo \vec{E}=0.
Fora da esfera r>R o campo é radial e vale
E(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{r}.

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