1. Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 17,5 \mathrm{m} / \mathrm{s} e está a 82 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. Com que velocidade \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} o pacote atinge o solo?
    (a) 4,3
    (b) 64,8
    (c) 43,7
    (d) 86,9
    (e) 26,7

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um balão está subindo com velocidade constante de 17,5\\ \mathrm{m/s}.
  • No instante em que um tripulante solta um pacote, o pacote está a 82\\ \mathrm{m} acima do solo.
  • O pacote é largado (ou seja, não é lançado para baixo ou para cima com força extra), então sua velocidade inicial é a mesma do balão naquele instante.
  • A pergunta: com que velocidade, em \mathrm{m/s}, o pacote atinge o solo? (há opções numéricas dadas.)
Informações relevantes extra (não fornecidas no enunciado, mas padrão físico usado em provas):
  • Usaremos a aceleração da gravidade como g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} para baixo (ou seja, aceleração vertical a=-9,8\\ \mathrm{m/s^2} se adotarmos cima como sinal positivo).

Passo 2

Escolhemos um sistema de referência vertical simples e escrevemos a equação do movimento para posição vertical sob aceleração constante:
  • Seja y(t) a altura do pacote em função do tempo t.
  • Tomamos y=0 como o solo e y positivo para cima.
  • Então os parâmetros são: y_0 = 82\quad(\text{altura inicial}),
v_0 = 17,5\quad(\text{velocidade inicial, positiva para cima}),
a = -9,8\quad(\text{aceleração vertical, negativa porque é para baixo}).çãé
A equação do movimento (fórmula padrão para MRUV) é
y(t)=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2.
Nessa fórmula:
  • y(t) é a altura no tempo t,
  • y_0 é a altura inicial,
  • v_0 é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração (constante),
  • t é o tempo desde o instante da queda.

Passo 3

O pacote atinge o solo quando y(t)=0. Substituindo na equação:
0 = 82 + 17,5\,t + \frac{1}{2}(-9,8)\,t^2.
Calculemos o coeficiente do termo quadrático: \frac{1}{2}(-9,8)=-4,9. Assim:
-4,9\,t^2 + 17,5\,t + 82 = 0.
Multiplicando por -1 para ter o termo quadrático positivo:
4,9\,t^2 - 17,5\,t - 82 = 0.
Isso é uma equação quadrática na forma A t^2 + B t + C = 0, com
A=4,9,\quad B=-17,5,\quad C=-82.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para achar t:
t=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.

Passo 4

Calculamos o discriminante e então t.
B^2-4AC = (-17,5)^2 - 4\cdot 4,9\cdot(-82).
Calcule passo a passo:
(-17,5)^2 = 306,25,
4\cdot 4,9\cdot(-82) = -1607,2,
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B^2-4AC = 306,25 - (-1607,2) = 306,25 + 1607,2 = 1913,45.
A raiz quadrada é aproximadamente
\sqrt{1913,45}\approx 43,743.
Agora:
t=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}=\frac{17,5\pm 43,743}{9,8}.
Temos duas raízes; uma será negativa (tempo físico não faz sentido) e outra positiva. A raiz positiva é
t=\frac{17,5+43,743}{9,8}=\frac{61,243}{9,8}\approx 6,249\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais, t\approx 6,25\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora calculamos a velocidade no instante do impacto usando a fórmula da velocidade no MRUV:
v(t)=v_0 + a t.
Substituindo os valores:
v = 17,5 + (-9,8)\cdot 6,249 \approx 17,5 - 61,243 \approx -43,743\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica direção para baixo. Se a pergunta pede a velocidade (magnitude), tomamos o valor absoluto:
|v|\approx 43,743\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para uma casa decimal (como nas opções dadas), obtemos 43,7\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(c) 43,7\\ \mathrm{m/s}

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