1. Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 11,7 \mathrm{~m} sua velocidade é \vec{v}=(7,6 \hat{i}+8,5 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}, com \hat{i} horizontal e \hat{j} para cima. Qual é a altura máxima em metros atingida pela bola?
    (a) 22,17
    (b) 7,31
    (c) 9,94
    (d) 18,39
    (e) 15,39

Passo 1

O enunciado diz que uma bola é lançada do solo e, quando está na altura de 11,7\\ \mathrm{m}, sua velocidade é \vec{v}=(7,6\\ \hat{i}+8,5\\ \hat{j})\\ \mathrm{m/s}, com \hat{i} horizontal e \hat{j} para cima. A pergunta é: qual é a altura máxima atingida pela bola?
Informações dadas:
\vec{v}=(7,6\\ \hat{i}+8,5\\ \hat{j})\\ \mathrm{m/s} no instante em que a altura é 11,7\\ \mathrm{m}.
Valor da aceleração da gravidade que usaremos: g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (para baixo).
O que se pede: a altura máxima h_{\text{max}} (em metros).

Passo 2

Entendimento físico e decomposição da velocidade (não se assuste, é simples): a velocidade vetorial tem componente horizontal v_x e componente vertical v_y. Aqui temos v_x=7,6\\ \mathrm{m/s} e v_y=8,5\\ \mathrm{m/s} quando a bola está a 11,7\\ \mathrm{m}. A componente horizontal não afeta a altura máxima (ela só move a bola para os lados); a que interessa para a altura é a componente vertical v_y. Então, a partir de 11,7\\ \mathrm{m} a bola ainda sobe até que a componente vertical da velocidade se anule (no ponto mais alto v_y=0).

Passo 3

Fórmula de cinemática que vamos usar (explicação didática): para movimento com aceleração constante vertical (aqui apenas a gravidade), a relação entre velocidades e deslocamento vertical é
v_{y,\text{final}}^{2}=v_{y,\text{inicial}}^{2}+2a\Delta y.
Aqui:
  • v_{y,\text{inicial}} é a componente vertical da velocidade no ponto em que conhecemos a velocidade ( 11,7\\ \mathrm{m}), ou seja v_{y,\text{inicial}}=8,5\\ \mathrm{m/s}.
  • v_{y,\text{final}} é a componente vertical no ponto que queremos (no topo): v_{y,\text{final}}=0\\ \mathrm{m/s}.
  • a é a aceleração vertical, que vale a=-g=-9,8\\ \mathrm{m/s^2} (negativa porque aponta para baixo).
  • \Delta y é o deslocamento vertical entre os dois pontos, isto é \Delta y=h_{\text{max}}-11,7.
Substituindo esses nomes na fórmula, obtemos:
0=(8,5)^{2}+2(-9,8)\bigl(h_{\text{max}}-11,7\bigr).

Passo 4

Resolver a equação para h_{\text{max}}. Reescrevendo:
0=8,5^{2}-2\cdot 9,8\bigl(h_{\text{max}}-11,7\bigr).
Passe o termo com o produto para o outro lado:
2\cdot 9,8\bigl(h_{\text{max}}-11,7\bigr)=8,5^{2}.
Logo
h_{\text{max}}-11,7=\frac{8,5^{2}}{2\cdot 9,8}.

Passo 5

Calcule os números passo a passo (tudo em \mathrm{m} e \mathrm{s}):
Primeiro o quadrado:
8,5^{2}=72,25.
O denominador:
2\cdot 9,8=19,6.
Então
h_{\text{max}}-11,7=\frac{72,25}{19,6}.

Passo 6

Fazer a divisão e obter o acréscimo de altura:
\frac{72,25}{19,6}\approx 3,686734694\ldots
(para a prova é suficiente arredondar razoavelmente). Assim
h_{\text{max}}=11,7+3,686734694\ldots \approx 15,386734694\ldots
Arredondando para duas casas decimais (como nas alternativas) obtemos 15,39\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Checagem rápida por intuição: a bola ainda sobe porque v_y=8,5\\ \mathrm{m/s} para cima; a subida esperada é da ordem de v_y^{2}/(2g), que é justamente \approx 3,69\\ \mathrm{m}. Somando aos 11,7\\ \mathrm{m} dá cerca de 15,39\\ \mathrm{m}. Faz sentido fisicamente e coincide com uma das alternativas.

Resposta

(e) 15,39

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