Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e está a 60 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. Despreze a resistência do ar e adote a aceleração da gravidade igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Quanto tempo leva para o pacote atingir a altura máxima?
(A) 2,5 \mathrm{~s}.
(B) 3,5 \mathrm{~s}.
(B) 1,5 \mathrm{~s}.
(C) 4,5 \mathrm{~s}.
(D) 5,5 \mathrm{~s}.
b) Qual o valor de sua altura máxima?
(A) 91,25 \mathrm{~m}.
(B) 81,25 \mathrm{~m}.
(B) 101,25 \mathrm{~m}.
(D) 96,25 \mathrm{~m}.
(C) 86,25 \mathrm{~m}.
c) Qual o tempo total de vôo livre?
(A) 6,77 \mathrm{~s}.
(B) 5,77 \mathrm{~s}.
(B) 7,77 \mathrm{~s}.
(C) 4,77 \mathrm{~s}.
(D) 3,77 \mathrm{~s}.
d) Qual o módulo da velocidade do pacote quando ele chega no solo?
(A) 46,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(B) 42,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(B) 45,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(C) 43,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(D) 44,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento vertical único, sem resistência do ar, com velocidade inicial para cima de v_{0}=25\\ \mathrm{m/s} e altura inicial y_{0}=60\\ \mathrm{m}. A aceleração da gravidade é g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} para baixo. Precisamos usar as equações do MUV (movimento uniformemente variado) para:
– a) tempo até a velocidade ser zero (altura máxima).
– b) altura máxima alcançada.
– c) tempo total até o pacote atingir o solo y=0.
– d) velocidade ao chegar ao solo.

Passo 2

Para achar o tempo até a altura máxima basta impor que a velocidade final seja zero. A equação da velocidade no MUV é
v(t)=v_{0}-g\,t.
Fazendo v(t_{\max})=0 resulta em
0=25 - 10\,t_{\max} \quad\Longrightarrow\quad t_{\max}=\frac{25}{10}=2{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 3

A altura máxima vem de
y(t)=y_{0}+v_{0}\,t-\tfrac12\,g\,t^{2}.
Substituindo t=2{,}5\\ \mathrm{s} e os valores dados,
y_{\max} =60 + 25\cdot2{,}5 - \tfrac12\cdot10\cdot(2{,}5)^{2} =60 + 62{,}5 -5\cdot6{,}25 =91{,}25\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Para o tempo total de vôo livre resolvemos y(t)=0, isto é,
60 +25\,t -5\,t^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 5\,t^{2} -25\,t -60=0.
Dividindo por 5 e usando a fórmula de Bhaskara:
t=\frac{25\pm\sqrt{25^{2}+4\cdot5\cdot60}}{2\cdot5} =\frac{25\pm\sqrt{25+48}}{10} =\frac{25\pm\sqrt{73}}{10}.
A raiz positiva é
t_{\text{solo}}=\frac{25+\sqrt{73}}{10}\approx6{,}77\\ \mathrm{s}.

Passo 5

A velocidade ao chegar ao solo é
v(t_{\text{solo}}) = v_{0} - g\,t_{\text{solo}} =25 -10\cdot6{,}77 \approx -42{,}7\\ \mathrm{m/s}.
O módulo é 42{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) 2,5\\ \mathrm{s} (alternativa A)
b) 91,25\\ \mathrm{m} (alternativa A)
c) 6,77\\ \mathrm{s} (alternativa A)
d) 42,7\\ \mathrm{m/s} (alternativa B)

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