A Lei de Stokes para a força de arrasto é importante no entendimento do movimento de pequenas partículas, como microrganismos e espermatozoides em fluídos ou na queda de gotículas de água no ar. Suponha que a queda de uma pequena gotícula no ar seja descrito pela equação y=14,633\left(e^{-0,818 t}-1\right)+11,97 t, no SI.
a) Qual é a posição da gotícula em t= 2,689 s?
(A) 23,176 \mathrm{~m}.
(B) 19,176 \mathrm{~m}.
(B) 22,176 \mathrm{~m}.
(C) 20,176 \mathrm{~m}.
(D) 21,176 \mathrm{~m}.
b) Qual é a velocidade da gotícula em t=2,689 \mathrm{~s} ?
\begin{array}{ll} \text { (A) } 9,643 \mathrm{~m} / \mathrm{s} & \text { (D) } 7,643 \mathrm{~m} / \mathrm{s} . \\\ \text { (B) } 10,643 \mathrm{~m} / \mathrm{s} . & \text { (B) } 8,643 \mathrm{~m} / \mathrm{s} . \end{array}
c) Qual é a aceleração da gotícula em t= 2,689 s?
(A) 1,085 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(B) 0,685 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(B) 0,985 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(c) 0,785 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(D) 0,885 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
d) Qual é a velocidade da gotícula quando t \rightarrow \infty ?
(A) 10,97 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(B) 11,97 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(B) 9,97 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(C) 12,97 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(D) 13,97 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Temos a posição da gotícula dada por
y(t)=14{,}633\bigl(e^{-0{,}818\,t}-1\bigr)+11{,}97\,t
para t em segundos e y em metros. A parte (a) pede y(2{,}689), a (b) a velocidade v(t)=y'(t) em t=2{,}689, a (c) a aceleração a(t)=v'(t) em t=2{,}689 e a (d) o limite de v(t) quando t\to\infty. Vamos usar cálculo de derivadas de funções exponenciais e limites.

Passo 2

Para y(2{,}689) substituímos t=2{,}689 em
y(t)=14{,}633\bigl(e^{-0{,}818\,t}-1\bigr)+11{,}97\,t.
Calculamos 0{,}818\times2{,}689\approx2{,}200,
e^{-2{,}200}\approx0{,}1108,
então
14{,}633\bigl(0{,}1108-1\bigr)\approx14{,}633\times(-0{,}8892)\approx-13{,}0117
e
11{,}97\times2{,}689\approx32{,}1873.
Logo
y(2{,}689)\approx32{,}1873-13{,}0117=19{,}1756\approx19{,}176\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Derivamos y(t) para obter a velocidade. Sabendo que \frac{d}{dt}e^{at}=a\,e^{at} e \frac{d}{dt}(k\,t)=k, temos
v(t)=y'(t)=14{,}633\bigl(-0{,}818\,e^{-0{,}818\,t}\bigr)+11{,}97
e como 14{,}633\times0{,}818\approx11{,}97, simplifica-se para
v(t)=11{,}97\bigl(1-e^{-0{,}818\,t}\bigr).

Passo 4

Para t=2{,}689 temos e^{-0{,}818\times2{,}689}\approx0{,}1108, logo
v(2{,}689)=11{,}97\bigl(1-0{,}1108\bigr)=11{,}97\times0{,}8892\approx10{,}643\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Derivando v(t) para obter a aceleração, com \frac{d}{dt}(1-e^{-0{,}818\,t})=0{,}818\,e^{-0{,}818\,t}, resulta
a(t)=v'(t)=11{,}97\times0{,}818\,e^{-0{,}818\,t}.

Passo 6

Em t=2{,}689 temos e^{-0{,}818\times2{,}689}\approx0{,}1108, então
a(2{,}689)=11{,}97\times0{,}818\times0{,}1108\approx1{,}085\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Para o limite quando t\to\infty, como e^{-0{,}818\,t}\to0, da expressão
v(t)=11{,}97\bigl(1-e^{-0{,}818\,t}\bigr)
vem
\lim_{t\to\infty}v(t)=11{,}97\times1=11{,}97\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) 19,176\\ \mathrm{m}
b) 10,643\\ \mathrm{m/s}
c) 1,085\\ \mathrm{m/s^2}
d) 11,97\\ \mathrm{m/s}

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