6- Um balão de ar quente tem um volume de 1,5 \mathrm{~m}^{3} e é aberto na parte inferior. Se o ar dentro do balão estiver a uma temperatura de 75^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura do ar fora do balão for de 24^{\circ} \mathrm{C}, a uma pressão de cerca de 1 atm , qual é a força resultante sobre o balão e seu conteúdo? (Despreze o peso do próprio balão.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações:
  • Volume do ar dentro do balão: \;V=1{,}5\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Temperatura do ar dentro do balão: \;t_{\text{in}}=75^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar fora do balão: \;t_{\text{out}}=24^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão externa aproximada: \;p\approx1\\ \text{atm}.
  • Desprezar o peso do próprio balão (ou seja, só considerar o ar dentro do volume).
O que é pedido: calcular a força resultante sobre o balão e seu conteúdo (ou seja, a força líquida resultante, direcional, sobre o volume de ar quente).

Passo 2

Vamos traduzir as temperaturas para a escala absoluta (Kelvin), porque a equação dos gases e densidade usam temperatura em Kelvin. A relação é \;T = t + 273{,}15. Portanto:
T_{\text{in}} = 75 + 273{,}15 = 348{,}15\\ \mathrm{K}
T_{\text{out}} = 24 + 273{,}15 = 297{,}15\\ \mathrm{K}

Passo 3

Explicar o princípio físico que usamos: a força de empuxo de Arquimedes diz que um corpo imerso em um fluido sofre uma força para cima igual ao peso do fluido deslocado. Para o balão (aberto na base), o empuxo para cima vale \;F_{\text{empuxo}} = \rho_{\text{out}}\,g\,V, onde:
  • \rho_{\text{out}} é a densidade do ar externo,
  • g é a aceleração da gravidade, \;g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},
  • V é o volume deslocado, aqui \;1{,}5\\ \mathrm{m^{3}}.
A força peso do ar quente dentro do balão é \;W_{\text{ar\,in}} = \rho_{\text{in}}\,g\,V. Assim a força resultante (líquida) sobre o balão e seu conteúdo é a diferença:
F_{\text{res}} = F_{\text{empuxo}} - W_{\text{ar\,in}} = (\rho_{\text{out}} - \rho_{\text{in}})\,g\,V.
Portanto precisamos calcular \rho_{\text{out}} e \rho_{\text{in}}.

Passo 4

Usamos a lei dos gases ideais para relacionar pressão, temperatura e densidade. A forma conveniente é \;p = \rho R_{\text{specific}} T, onde:
  • \;p é a pressão absoluta,
  • \;\rho é a densidade do gás,
  • \;R_{\text{specific}} é a constante específica do ar (constante dos gases universais dividida pela massa molar do ar). Para o ar seco \;R_{\text{specific}}\approx 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • \;T é a temperatura em Kelvin.
    Reorganizando para \rho:
\rho = \frac{p}{R_{\text{specific}}\,T}.

Passo 5

Adotamos \;p=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (1 atm aproximada) e \;R_{\text{specific}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Calculemos \rho_{\text{out}} e \rho_{\text{in}} passo a passo:
Para o ar externo:
\rho_{\text{out}} = \frac{p}{R_{\text{specific}}\,T_{\text{out}}} = \frac{1{,}013\times10^{5}}{287\cdot 297{,}15}.
Primeiro calcule o produto no denominador: \;287\cdot 297{,}15 = 85\,282{,}05.
Logo
\rho_{\text{out}} \approx \frac{1{,}013\times10^{5}}{85\,282{,}05}\approx 1{,}1886\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 6

Agora para o ar dentro:
\rho_{\text{in}} = \frac{p}{R_{\text{specific}}\,T_{\text{in}}} = \frac{1{,}013\times10^{5}}{287\cdot 348{,}15}.
Denominador: \;287\cdot 348{,}15 = 99\,919{,}05.
Logo
\rho_{\text{in}} \approx \frac{1{,}013\times10^{5}}{99\,919{,}05}\approx 1{,}0138\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 7

Calcule a diferença de densidades que determina o empuxo líquido por unidade de volume:
\Delta\rho = \rho_{\text{out}} - \rho_{\text{in}} \approx 1{,}1886 - 1{,}0138 = 0{,}1748\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 8

Agora aplicamos a fórmula da força resultante:
F_{\text{res}} = \Delta\rho \, g \, V.
Substituindo os valores numéricos:
F_{\text{res}} \approx 0{,}1748 \times 9{,}81 \times 1{,}5.
Calcule passo a passo: \;0{,}1748\times 9{,}81 \approx 1{,}7148 e então \;1{,}7148\times 1{,}5 \approx 2{,}5722.

Passo 9

Arredondando para duas casas decimais (mantendo vírgula como separador decimal conforme convênio):
F_{\text{res}} \approx 2{,}57\\ \mathrm{N},
e a direção é para cima (empuxo maior que o peso do ar interno).

Resposta

\;2{,}57\\ \mathrm{N} (para cima)

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