Um balão de vidro de 1,0 dm^3 contém 1,0 times 10^33 moléculas de H2. A pressão do gás é 100 kPa. (a) Qual a temperatura do gás? (b) Qual é a velocidade média quadrática das moléculas? © A temperatura seria diferente se as moléculas fossem de O2?

Passo 1

Então, temos um balão de vidro de 1,0 , dm^3 que contém 1,0 times 10^33 moléculas de H2. A pressão do gás dentro desse balão é de 100 kPa. Precisamos descobrir três coisas:
a) Qual é a temperatura do gás?
b) Qual é a velocidade média quadrática das moléculas?
c) Se a temperatura mudaria se as moléculas fossem de O2 ao invés de H2?
Para resolver isso, vamos usar conceitos da teoria cinética dos gases e a equação dos gases ideais.

Passo 2

Parte (a): Determinar a temperatura do gás
Primeiro, vamos usar a equação dos gases ideais, que relaciona pressão ( P), volume ( V), número de mols ( n), constante dos gases ( R) e temperatura ( T):
PV = nRT
Mas, no nosso caso, sabemos o número de moléculas ( N) e não o número de mols. Para converter moléculas em mols, usamos a constante de Avogadro ( NA):
n = NNA
Substituindo na equação dos gases:
PV = NNA RT
Agora, isolando T:
T = PV NAR N
Vamos agora inserir os valores conhecidos:
  • Pressão: P = 100 times 10^3 , Pa (já que 1 , kPa = 10^3 , Pa)
  • Volume: V = 1,0 , dm^3 = 1,0 times 10^-3 , m^3
  • Número de moléculas: N = 1,0 times 10^33
  • Constante de Avogadro: NA = 6,022 times 10^23 , mol^-1
  • Constante dos gases: R = 8,314 , J/mol·K
Substituindo na fórmula:
T = 100 times 10^3 times 1,0 times 10^-3 times 6,022 times 10^238,314 times 1,0 times 10^33
Simplificando os termos:
T = 100 times 6,022 times 10^238,314 times 10^33 = 6,022 times 10^258,314 times 10^33 approx 7,24 times 10^-9 , K
Então, a temperatura do gás é aproximadamente 7,24 times 10^-9 Kelvin.

Passo 3

Parte (b): Calcular a velocidade média quadrática das moléculas
A velocidade média quadrática ( vrms) das moléculas pode ser calculada usando a seguinte fórmula da teoria cinética dos gases:
vrms = raiz3RTM
Onde:
  • R é a constante dos gases ( 8,314 , J/mol·K)
  • T é a temperatura que já calculamos ( 7,24 times 10^-9 , K)
  • M é a massa molar do gás em kg/mol. Para H2, M = 2,016 times 10^-3 , kg/mol
Substituindo os valores:
vrms = raiz3 times 8,314 times 7,24 times 10^-92,016 times 10^-3
Primeiro, calculamos o numerador:
3 times 8,314 times 7,24 times 10^-9 = 1,807 times 10^-6 , J/mol
Agora, dividimos pelo denominador:
1,807 times 10^-62,016 times 10^-3 approx 8,967 times 10^-4 , m^2/s^2
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:
vrms approx raiz8,967 times 10^-4 approx 0,030 , m/s
Assim, a velocidade média quadrática das moléculas é aproximadamente 0,030 , m/s.

Passo 4

Parte ©: Verificar se a temperatura seria diferente para O2
A fórmula que usamos para calcular a temperatura ( T) depende da pressão ( P), volume ( V), número de moléculas ( N), e das constantes R e NA. Observamos que a temperatura não depende diretamente do tipo de molécula, mas sim da energia cinética média das moléculas.
No entanto, a massa das moléculas afeta a velocidade média quadrática ( vrms), já que na fórmula vrms = raiz3RTM, M é a massa molar. Se as moléculas fossem de O2 com uma massa molar maior que H2, a velocidade média seria menor para a mesma temperatura.
Porém, olhando para a parte (a), a temperatura calculada depende apenas de P, V, N, R e NA, que não mudam com o tipo de molécula. Portanto, a temperatura não seria diferente se as moléculas fossem de O2.

Resposta

a) A temperatura do gás é aproximadamente 7,24 times 10^-9 Kelvin.
b) A velocidade média quadrática das moléculas é cerca de 0,030 , m/s.
c) A temperatura não seria diferente se as moléculas fossem de O2.

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