Balcule a integral \oint_{C} \frac{2 z^{2}-3 z}{3 z-9 i} d z, ao longo de cada
c:|z-2,5 i|=\frac{5}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{2 z^{2}-3 z}{3 z-9 i}\,dz,
onde C é o círculo dado por |z-2{,}5\,i|=\dfrac{5}{2}. Informação relevante fornecida:
  • A curva C é o círculo de centro 2{,}5\,i (ou seja, \dfrac{5}{2}i) e raio \dfrac{5}{2}.
  • A integranda é a função racional \dfrac{2 z^{2}-3 z}{3 z-9 i}.
  • O enunciado não especifica a orientação; vou assumir a orientação positiva (contrária aos ponteiros do relógio), que é a convenção usual.

Passo 2

Identificar possíveis singularidades (pontos em que a função não é holomorfa). A única fonte de singularidade é o denominador. Resolvendo
3z-9i=0
obtemos
z=3i.
Portanto há um único polo em z=3i. Não há zeros do denominador em nenhum outro ponto.

Passo 3

Verificar se o polo z=3i está dentro do círculo C. A distância entre o centro do círculo 2{,}5\,i e o ponto 3i é
|3i-2{,}5\,i|=|0{,}5\,i|=0{,}5.
Como o raio do círculo é \dfrac{5}{2}=2{,}5, temos 0{,}5<2{,}5. Logo o polo z=3i está estritamente dentro de C. Também verificamos que o polo não está sobre a fronteira (distância diferente do raio).

Passo 4

Escolher o método: como a integranda é da forma \dfrac{g(z)}{z-a} (até uma constante) com g inteira em uma vizinhança de a, é natural usar a fórmula integral de Cauchy (ou o teorema dos resíduos para um polo simples). Vou explicar a fórmula de Cauchy que vou usar:
Se g é holomorfa numa região que contém o interior de C e a fronteira C, e a é um ponto interior, então
\oint_{C}\frac{g(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\, g(a),
assumindo orientação positiva de C. Aqui cada símbolo significa:
  • C: curva fechada simples e orientada positivamente.
  • g(z): função holomorfa (analítica) no interior e na fronteira de C.
  • a: ponto interior de C.
  • O lado esquerdo é a integral de linha complexa da função \dfrac{g(z)}{z-a} ao longo de C.
    Essa fórmula é muito útil porque transforma a integral numa avaliação simples de g em a.

Passo 5

Colocar a nossa integranda na forma compatível com a fórmula. Observamos que
3z-9i = 3\,(z-3i),
portanto
\frac{2 z^{2}-3 z}{3 z-9 i} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2 z^{2}-3 z}{z-3i}.
Definimos g(z)=2 z^{2}-3 z. Note que g é polinômio, logo é holomorfo em todo o plano complexo; em particular é holomorfo no interior e na fronteira de C. Assim podemos aplicar a fórmula de Cauchy com a=3i, lembrando do fator \dfrac{1}{3}.

Passo 6

Avaliar g em a=3i. Calcule passo a passo:
(3i)^2 = 9 i^2 = 9(-1) = -9,
logo
g(3i)=2(3i)^2 - 3(3i) = 2(-9) - 9i = -18 - 9i.
Dividindo por 3 (o fator que ficou do denominador):
\frac{g(3i)}{3}=\frac{-18-9i}{3}=-6-3i.

Passo 7

Aplicar a fórmula de Cauchy: como já escrevemos a integranda como \dfrac{1}{3}\dfrac{g(z)}{z-3i}, temos
\oint_{C}\frac{2 z^{2}-3 z}{3 z-9 i}\,dz = \frac{1}{3}\oint_{C}\frac{g(z)}{z-3i}\,dz = \frac{1}{3}\cdot 2\pi i\; g(3i).
Substituindo g(3i)=-18-9i obtemos
\oint_{C}\frac{2 z^{2}-3 z}{3 z-9 i}\,dz = 2\pi i\cdot\frac{-18-9i}{3} = 2\pi i(-6-3i).
Fazendo a multiplicação:
2\pi i(-6-3i) = -12\pi i -6\pi i^{2} = -12\pi i -6\pi(-1) = 6\pi -12\pi i.

Resposta

\;6\pi - 12\pi i

Exercícios relacionados