Balcule a integral
, ao longo de cada
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo dado por
. Informação relevante fornecida:
- A curva
é o círculo de centro (ou seja, ) e raio . - A integranda é a função racional
. - O enunciado não especifica a orientação; vou assumir a orientação positiva (contrária aos ponteiros do relógio), que é a convenção usual.
Passo 2
Identificar possíveis singularidades (pontos em que a função não é holomorfa). A única fonte de singularidade é o denominador. Resolvendo
obtemos
Portanto há um único polo em
. Não há zeros do denominador em nenhum outro ponto.
Passo 3
Verificar se o polo
está dentro do círculo
. A distância entre o centro do círculo
e o ponto
é
Como o raio do círculo é
, temos
. Logo o polo
está estritamente dentro de
. Também verificamos que o polo não está sobre a fronteira (distância diferente do raio).
Passo 4
Escolher o método: como a integranda é da forma
(até uma constante) com
inteira em uma vizinhança de
, é natural usar a fórmula integral de Cauchy (ou o teorema dos resíduos para um polo simples). Vou explicar a fórmula de Cauchy que vou usar:
Se
é holomorfa numa região que contém o interior de
e a fronteira
, e
é um ponto interior, então
assumindo orientação positiva de
. Aqui cada símbolo significa:
-
: curva fechada simples e orientada positivamente. -
: função holomorfa (analítica) no interior e na fronteira de . -
: ponto interior de . - O lado esquerdo é a integral de linha complexa da função
ao longo de .
Essa fórmula é muito útil porque transforma a integral numa avaliação simples deem .
Passo 5
Colocar a nossa integranda na forma compatível com a fórmula. Observamos que
portanto
Definimos
. Note que
é polinômio, logo é holomorfo em todo o plano complexo; em particular é holomorfo no interior e na fronteira de
. Assim podemos aplicar a fórmula de Cauchy com
, lembrando do fator
.
Passo 6
Avaliar
em
. Calcule passo a passo:
logo
Dividindo por
(o fator que ficou do denominador):
Passo 7
Aplicar a fórmula de Cauchy: como já escrevemos a integranda como
, temos
Substituindo
obtemos
Fazendo a multiplicação: