Mostre que
éharmónica e obta nha a função harmónica conguagada de u de modo que
seja tonalítica
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) mostrar que
é harmônica; (ii) encontrar uma função harmónica conjugada
(à constante aditiva) de modo que
seja analítica (holomórfica). Vou listar explicitamente essas duas metas para não nos perder depois.
Passo 2
O que significa ser uma função harmónica? Uma função
é harmónica em uma região se satisfaz a equação de Laplace
onde
é a derivada segunda de
em relação a
e
é a derivada segunda em relação a
. Vou calcular as derivadas parciais de
passo a passo.
Passo 3
Calcule
(derivada de
em relação a
):
Derivando termo a termo em
:
Como
e
são constantes ao derivar em
,
Passo 4
Calcule
(segunda derivada em
):
Passo 5
Calcule
(derivada de
em relação a
):
Aqui
e
são constantes ao derivar em
, e
,
. Assim
Passo 6
Calcule
(segunda derivada em
):
Passo 7
Agora some as segundas derivadas (a laplaciana):
Como a soma dá zero, concluímos que
é harmónica em toda a região considerada (na verdade em
).
Passo 8
Próximo objetivo: achar uma conjugada harmónica
tal que
seja analítica. Lembrete prático (Cauchy–Riemann): se
é holomórfica então as equações de Cauchy–Riemann valem
Aqui vou usar essas equações para encontrar
.
Passo 9
Usar
. Já calculámos
:
Integramos em relação a
para obter
(a integração em
gera uma função arbitrária de
):
onde
é uma função de
que aparece como “constante” de integração.
Passo 10
Agora usamos a segunda condição de Cauchy–Riemann
para determinar
. Primeiro calcule
a partir da expressão encontrada:
Derivando em
:
Passo 11
A condição
exige
Sabemos que
. Substituindo:
O lado direito é
Comparando com o lado esquerdo
, obtemos
Isolando
dá
Portanto
é constante:
.
Passo 12
Com isso a conjugada harmónica geral (até constante) é
onde
é uma constante real arbitrária. Podemos verificar rapidamente que com esse
as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas, de modo que
é de facto analítica.
Passo 13
Observação final e dica de prova: a conjugada harmónica é única a menos de uma constante aditiva; em domínios simplesmente conexos toda função harmónica possui localmente (e globalmente se o domínio for simplesmente conexo) uma conjugada harmónica. Aqui estamos em
inteiro, que é simplesmente conexo, então a conjugada existe globalmente.