Mostre que u=e^{x} \cos y-2 x^{2}+2 y^{2} éharmónica e obta nha a função harmónica conguagada de u de modo que f=u+i v seja tonalítica

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,y)=e^{x}\cos y-2x^{2}+2y^{2}
e pede duas coisas: (i) mostrar que u é harmônica; (ii) encontrar uma função harmónica conjugada v(x,y) (à constante aditiva) de modo que f=u+iv seja analítica (holomórfica). Vou listar explicitamente essas duas metas para não nos perder depois.

Passo 2

O que significa ser uma função harmónica? Uma função u(x,y) é harmónica em uma região se satisfaz a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0,
onde u_{xx} é a derivada segunda de u em relação a x e u_{yy} é a derivada segunda em relação a y. Vou calcular as derivadas parciais de u passo a passo.

Passo 3

Calcule u_x (derivada de u em relação a x):
u(x,y)=e^{x}\cos y-2x^{2}+2y^{2}
Derivando termo a termo em x:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y^{2}\bigr).
Como \cos y e y^{2} são constantes ao derivar em x,
u_x=e^{x}\cos y-4x.

Passo 4

Calcule u_{xx} (segunda derivada em x):
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y-4x\bigr)=e^{x}\cos y-4.

Passo 5

Calcule u_y (derivada de u em relação a y):
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y^{2}\bigr).
Aqui e^{x} e x^{2} são constantes ao derivar em y, e \frac{d}{dy}\cos y=-\sin y, \frac{d}{dy}(2y^{2})=4y. Assim
u_y=-e^{x}\sin y+4y.

Passo 6

Calcule u_{yy} (segunda derivada em y):
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-e^{x}\sin y+4y\bigr)=-e^{x}\cos y+4.

Passo 7

Agora some as segundas derivadas (a laplaciana):
u_{xx}+u_{yy}=(e^{x}\cos y-4)+(-e^{x}\cos y+4)=0.
Como a soma dá zero, concluímos que u é harmónica em toda a região considerada (na verdade em \mathbb{R}^{2}).

Passo 8

Próximo objetivo: achar uma conjugada harmónica v(x,y) tal que f=u+iv seja analítica. Lembrete prático (Cauchy–Riemann): se f=u+iv é holomórfica então as equações de Cauchy–Riemann valem
u_x=v_y\qquad\text{e}\qquad u_y=-v_x.
Aqui vou usar essas equações para encontrar v.

Passo 9

Usar u_x=v_y. Já calculámos u_x:
u_x=e^{x}\cos y-4x.
Integramos em relação a y para obter v (a integração em y gera uma função arbitrária de x):
v(x,y)=\int\bigl(e^{x}\cos y-4x\bigr)\,dy=e^{x}\sin y-4xy+\varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função de x que aparece como “constante” de integração.

Passo 10

Agora usamos a segunda condição de Cauchy–Riemann u_y=-v_x para determinar \varphi(x). Primeiro calcule v_x a partir da expressão encontrada:
v(x,y)=e^{x}\sin y-4xy+\varphi(x).
Derivando em x:
v_x=e^{x}\sin y-4y+\varphi'(x).

Passo 11

A condição u_y=-v_x exige
u_y=-v_x.
Sabemos que u_y=-e^{x}\sin y+4y. Substituindo:
-e^{x}\sin y+4y= -\bigl(e^{x}\sin y-4y+\varphi'(x)\bigr).
O lado direito é
-\bigl(e^{x}\sin y-4y+\varphi'(x)\bigr)=-e^{x}\sin y+4y-\varphi'(x).
Comparando com o lado esquerdo -e^{x}\sin y+4y, obtemos
-e^{x}\sin y+4y = -e^{x}\sin y+4y-\varphi'(x).
Isolando \varphi'(x)
\varphi'(x)=0.
Portanto \varphi(x) é constante: \varphi(x)=C.

Passo 12

Com isso a conjugada harmónica geral (até constante) é
v(x,y)=e^{x}\sin y-4xy+C,
onde C é uma constante real arbitrária. Podemos verificar rapidamente que com esse v as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas, de modo que f=u+iv é de facto analítica.

Passo 13

Observação final e dica de prova: a conjugada harmónica é única a menos de uma constante aditiva; em domínios simplesmente conexos toda função harmónica possui localmente (e globalmente se o domínio for simplesmente conexo) uma conjugada harmónica. Aqui estamos em \mathbb{R}^2 inteiro, que é simplesmente conexo, então a conjugada existe globalmente.

Resposta

u é harmônica.
v(x,y)=e^{x}\sin y-4xy+C, com C\in\mathbb{R}.

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