Ex. 1 (3.0 pontos) Uma lâmina ocupa a parte do disco x^{2}+y^{2} \leq 9 no primeiro quadrante. Determine o raio de giração com respeito ao eixo-x se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo-x.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Região ocupada pela lâmina: a parte do disco x^{2}+y^{2}\le 9 no primeiro quadrante. Logo o domínio é R=\{(x,y)\mid 0\le r\le 3,\;0\le\theta\le \tfrac{\pi}{2}\}quando usarmos coordenadas polares (aqui só estou indicando os limites da região).
  • Densidade em qualquer ponto: proporcional à distância do ponto ao eixo x. Isso significa que a densidade superficial pode ser escrita como \sigma(x,y)=k\cdot(\text{distância ao eixo }x)=k\,y,âonde k>0 é uma constante de proporcionalidade (desconhecida).
  • O que pedem: o raio de giração da lâmina em relação ao eixo x. Em termos práticos, é o número k_x tal que o momento de inércia em relação ao eixo x seja igual a M\,k_x^{2}, onde M é a massa total da lâmina.

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (uma “aula” curta sobre o que é raio de giração e os integrais necessários).
  • Massa total M de uma lâmina com densidade superficial \sigma(x,y) é dada por M=\iint_{R}\sigma(x,y)\,dA.Aqui dA é o elemento de área (vai virar r\,dr\,d\theta em coordenadas polares).
  • Momento de inércia em relação ao eixo x, denotado I_x, é a integral da densidade multiplicada pela distância ao eixo x ao quadrado: I_x=\iint_{R}(\text{distância ao eixo }x)^{2}\,\sigma(x,y)\,dA=\iint_{R} y^{2}\,\sigma(x,y)\,dA.âExplicação: cada pequena porção de massa dm=\sigma\,dA a uma distância y do eixo x contribui com y^{2}\,dm para o momento.
  • Raio de giração relativo ao eixo x é k_x=\sqrt{\frac{I_x}{M}}.Interpretação: é a distância a que toda a massa poderia estar concentrada para gerar o mesmo momento I_x.
Observação: a constante k da densidade normalmente cancela no quociente I_x/M, então não precisamos saber seu valor numérico.

Passo 3

Escolha de coordenadas e expressão da densidade em polares.
  • Usamos coordenadas polares porque a região é um quadrante de disco. Em polares: x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
  • Limites para a região R: 0\le r\le 3, 0\le\theta\le \tfrac{\pi}{2}.
  • A densidade \sigma(x,y)=k\,y em polares fica \sigma(r,\theta)=k\,(r\sin\theta)=k\,r\sin\theta.

Passo 4

Cálculo da massa M.
  • Escrevendo a integral em polares: M=\iint_{R}\sigma\,dA=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} \bigl(k\,r\sin\theta\bigr)\cdot r\,dr\,d\theta(aqui \sigma=k r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta).
  • Simplificando o integrando: M=k\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\left(\int_{0}^{3} r^{2}\,dr\right)d\theta.
  • Calcule a integral em r: \int_{0}^{3} r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{3}=9.
  • Então M=k\cdot 9\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta.
  • Calcule a integral em \theta: \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2}=0-(-1)=1.
  • Assim M=9k.

Passo 5

Cálculo do momento de inércia I_x.
  • Escrevendo a integral em polares: I_x=\iint_{R} y^{2}\sigma\,dA=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} \bigl((r\sin\theta)^{2}\bigr)\bigl(k\,r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta.(explicando: y^{2}=(r\sin\theta)^{2}, \sigma=k r\sin\theta, e dA=r\,dr\,d\theta).
  • Simplificando o integrando: I_x=k\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\left(\int_{0}^{3} r^{4}\,dr\right)d\theta.
  • Calcule a integral em r: \int_{0}^{3} r^{4}\,dr=\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{3}=\frac{3^{5}}{5}=\frac{243}{5}.
  • Então I_x=k\cdot\frac{243}{5}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta.
  • Calcule \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta. Use a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e a substituição u=\cos\theta: \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta-\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos^{2}\theta\,d\theta.Executando diretamente (ou lembrando do resultado padrão): \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta=\frac{2}{3}.(Breve verificação: \int\sin^{3}\theta\,d\theta=-\cos\theta+\tfrac{1}{3}\cos^{3}\theta, avaliando de 0 a \tfrac{\pi}{2} 2/3.)
  • Portanto I_x=k\cdot\frac{243}{5}\cdot\frac{2}{3}=k\cdot\frac{486}{15}=k\cdot\frac{162}{5}.

Passo 6

Cálculo do raio de giração k_x e simplificação final.
  • Usando a fórmula k_x=\sqrt{\frac{I_x}{M}}=\sqrt{\frac{\displaystyle k\cdot\frac{162}{5}}{\displaystyle 9k}}.
  • A constante k cancela: k_x=\sqrt{\frac{162/5}{9}}=\sqrt{\frac{162}{45}}=\sqrt{\frac{18}{5}}.
  • Podemos escrever \sqrt{\dfrac{18}{5}} de forma equivalente: \sqrt{\frac{18}{5}}=3\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}.
  • Valor aproximado (só para intuição): k_x\approx 1{,}8974, mas a forma exata abaixo é preferível.

Resposta

\dfrac{3\sqrt{10}}{5}

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