Ex. 1 (3.0 pontos) Uma lâmina ocupa a parte do disco
no primeiro quadrante. Determine o raio de giração com respeito ao eixo-x se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo-x.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Região ocupada pela lâmina: a parte do disco
no primeiro quadrante. Logo o domínio é quando usarmos coordenadas polares (aqui só estou indicando os limites da região). - Densidade em qualquer ponto: proporcional à distância do ponto ao eixo
. Isso significa que a densidade superficial pode ser escrita como onde é uma constante de proporcionalidade (desconhecida). - O que pedem: o raio de giração da lâmina em relação ao eixo
. Em termos práticos, é o número tal que o momento de inércia em relação ao eixo seja igual a , onde é a massa total da lâmina.
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (uma “aula” curta sobre o que é raio de giração e os integrais necessários).
- Massa total
de uma lâmina com densidade superficial é dada por Aqui é o elemento de área (vai virar em coordenadas polares). - Momento de inércia em relação ao eixo
, denotado , é a integral da densidade multiplicada pela distância ao eixo ao quadrado: Explicação: cada pequena porção de massa a uma distância do eixo contribui com para o momento. - Raio de giração relativo ao eixo
é Interpretação: é a distância a que toda a massa poderia estar concentrada para gerar o mesmo momento .
Observação: a constante
da densidade normalmente cancela no quociente
, então não precisamos saber seu valor numérico.
Passo 3
Escolha de coordenadas e expressão da densidade em polares.
- Usamos coordenadas polares porque a região é um quadrante de disco. Em polares:
- Limites para a região
: , . - A densidade
em polares fica
Passo 4
Cálculo da massa
.
- Escrevendo a integral em polares:
(aqui e ). - Simplificando o integrando:
- Calcule a integral em
: - Então
- Calcule a integral em
: - Assim
Passo 5
Cálculo do momento de inércia
.
- Escrevendo a integral em polares:
(explicando: , , e ). - Simplificando o integrando:
- Calcule a integral em
: - Então
- Calcule
. Use a identidade e a substituição : Executando diretamente (ou lembrando do resultado padrão): (Breve verificação: , avaliando de a dá .) - Portanto
Passo 6
Cálculo do raio de giração
e simplificação final.
- Usando a fórmula
- A constante
cancela: - Podemos escrever
de forma equivalente: - Valor aproximado (só para intuição):
, mas a forma exata abaixo é preferível.