Um balde de 1 m^{3} (cubo de arestas 1 m ) contém 0,6 m^{3} de água. São jogadas neste balde 40 esferas formadas por três materiais diferentes (todas com o mesmo volume 0,01 m^{3} ). Observa-se que a diferença entre a pressão no fundo do balde e a pressão na superfície da água é acrescida em
menos de 48 \% após a colocação das esferas. Calcule a menor quantidade possível (na amostra) de esferas formadas pelo material 1, sabendo que:
a) a densidade do material 1 é a metade da densidade da água;
b) a densidade do material 2 é igual à da água;
c) a densidade do material 3 é 50 \% maior que a do material 1 e
d) Existem 10 esferas formadas pelo material 2.

Passo 1

O balde é um cubo de aresta 1\rm\,m, logo a área da base é
A = 1\rm\,m^2
e contém inicialmente 0,6\rm\,m^3 de água. A altura inicial da coluna de água é
h_0 = \frac{0,6}{A} = 0,6\rm\,m.
A diferença de pressão entre o fundo e a superfície inicialmente é
\Delta P_0 = \rho_{\rm w}\,g\,h_0.
Jogamos 40 esferas de volume V_s=0,01\rm\,m^3 de três materiais (densidades \rho_1=0{,}5\rho_{\rm w}, \rho_2=\rho_{\rm w}, \rho_3=1{,}5\rho_1=0{,}75\rho_{\rm w}) e há exatamente 10 esferas do material 2. Queremos o menor número n_1 de esferas do material 1 tal que o aumento percentual em \Delta P seja inferior a 48%.

Passo 2

Quando as esferas são colocadas na água, submerge-se cada uma até o volume que iguala o peso da esfera.
  • Para o material 1 (densidade metade da da água), o volume submerso de cada esfera é
V_{\rm disp,1} = \frac{\rho_1}{\rho_{\rm w}}\,V_s = 0,5\cdot0,01 = 0,005\rm\,m^3.
  • Para os materiais 2 e 3 (densidades \ge\rho_{\rm w}), cada esfera fica totalmente submersa, deslocando
V_{\rm disp,2} = V_{\rm disp,3} = V_s = 0,01\rm\,m^3.

Passo 3

Se n_1 é o número de esferas do material 1 e n_3 é o número de esferas do material 3, temos
n_1 + n_2 + n_3 = 40 \quad\text{com}\quad n_2 = 10 \;\Longrightarrow\; n_3 = 30 - n_1.
O volume total deslocado é
V_{\rm disp,tot} = n_1\cdot0,005 + 10\cdot0,01 + n_3\cdot0,01 = 0,005\,n_1 + 0,1 + 0,01\,(30 - n_1) = 0,4 - 0,005\,n_1.

Passo 4

A nova altura da água é
h_f = h_0 + \frac{V_{\rm disp,tot}}{A} = 0,6 + \bigl(0,4 - 0,005\,n_1\bigr).
O aumento percentual da pressão no fundo é igual ao aumento percentual da altura:
\frac{\Delta P_f - \Delta P_0}{\Delta P_0} = \frac{h_f - h_0}{h_0} < 0,48.
Logo
h_f - h_0 = V_{\rm disp,tot} < 0,48\,h_0 = 0,48\times0,6 = 0,288\rm\,m^3.

Passo 5

Impondo
0,4 - 0,005\,n_1 < 0,288 \quad\Longrightarrow\quad 0,005\,n_1 > 0,112 \quad\Longrightarrow\quad n_1 > 22{,}4,
e como n_1 é inteiro, o menor valor possível é
n_1 = 23.

Resposta

A menor quantidade possível de esferas do material 1 é 23.

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