1. Um balde de massa desprezível, inicialmente no solo e contendo M quilos de água, é puxado verticalmente para cima com velocidade constante v. À medida que ele sobe, a água é escoada por um furo na parte de baixo do balde. Determine, por meio de técnicas de integração, qual o trabalho necessário para que o balde seja erguido até uma altura H com relação ao solo, onde toda a água foi perdida. (2,5)

Passo 1

O enunciado descreve um balde de massa desprezível contendo inicialmente M quilos de água, que é içado verticalmente com velocidade constante v até altura H de forma que a água escorre uniformemente até acabar. Precisamos calcular o trabalho realizado pela força de tração usando integração, considerando que a massa de água varia com a altura.

Passo 2

Como a velocidade é constante, a variação de altura y é proporcional ao tempo e assumimos que a perda de massa é uniforme em relação a y. Se no início, em y=0, temos massa M e em y=H massa zero, então em uma altura genérica y a massa restante é
m(y)=M\Bigl(1-\frac{y}{H}\Bigr).

Passo 3

A tração necessária para manter velocidade constante anula o peso instantâneo da água restante. Logo, a força de tração é
F(y)=m(y)\,g=Mg\Bigl(1-\frac{y}{H}\Bigr).
O trabalho diferencial para subir um elemento dy é dW=F(y)\,dy.

Passo 4

Integramos de y=0 até y=H:
W=\int_{0}^{H}Mg\Bigl(1-\frac{y}{H}\Bigr)\,dy =Mg\left[y-\frac{y^{2}}{2H}\right]_{0}^{H} =Mg\Bigl(H-\frac{H}{2}\Bigr) =\frac{1}{2}MgH.

Resposta

O trabalho necessário é \displaystyle\frac{1}{2}M g H.

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