Um navio tanque desativado vaza querosene ( \mathrm{n} \_\{\mathrm{q}\}=1.4 ) num rio, gerando uma película fina de querosene sobre a superfície da água (nag=1,33). Nas perguntas que seguem, suponha que alguém que esteja olhando quase perpendicularmente para baixo a partir de um avião, para uma região onde a mancha de querosene tem espessura d=400 n m.
a) Qual a diferença de fase total adicional por reflexão entre os dois primeiros raios refletidos que chegam até o observador no avião, se acaso houver? Justifique detalhadamente.
b) Determine para qual(is) comprimento(s) de onda de luz visível a intensidade de luz refletida será mínima, sabendo que a região do visível corresponde a 400 nm < lambda < 700nm Considere, também, que para um filme fino de interfaces paralelas, a diferença de caminho entre raios refletidos na interface ar-pelicula e pelicula-água é dada pela expressão \mathrm{AL}=2 \mathrm{~d} cos

Passo 1

O enunciado trata de interferência em filme fino de querosene (índice \,n_q=1,4) sobre água (índice \,n_{\text{água}}=1,33á), visto quase na normal (incidência perpendicular). A espessura do filme é d=400\\ \mathrm{nm}.
(a) pede a diferença de fase adicional só por inversões de fase nas reflexões.
(b) pede os comprimentos de onda visíveis ( 400\\ \mathrm{nm}<\lambda<700\\ \mathrm{nm}) para os quais a intensidade refletida é mínima.

Passo 2

Quando um raio incide na interface ar–querosene (de índice menor para maior) a reflexão sofre inversão de fase de \pi.
Na interface querosene–água (índice maior para menor) não há inversão.
Logo, a diferença de fase somente por reflexões é
\Delta\varphi_{\text{ref}} = \pi.

Passo 3

O caminho extra do segundo raio (o que reflete na interface inferior e sai) no filme é
\Delta = 2\,n_q\,d,
que em termos de fase corresponde a
\Delta\varphi_{\text{caminho}} = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,(2\,n_q\,d) = \frac{4\pi\,n_q\,d}{\lambda}.

Passo 4

Somando as fases de caminho e de reflexão, a diferença total de fase entre os dois primeiros raios é
\Delta\varphi_{\text{tot}} = \Delta\varphi_{\text{caminho}} + \Delta\varphi_{\text{ref}} = \frac{4\pi\,n_q\,d}{\lambda} + \pi.

Passo 5

Para mínimo de intensidade refletida (interferência destrutiva) requer-se
\Delta\varphi_{\text{tot}} = 2\,m\pi, \quad m\in\mathbb{Z}.
Assim
\frac{4\pi\,n_q\,d}{\lambda} + \pi = 2\,m\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{4\,n_q\,d}{\lambda} = 2\,m - 1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{4\,n_q\,d}{2\,m - 1}.

Passo 6

Substituindo n_q=1,4 e d=400\\ \mathrm{nm}:
\lambda_m = \frac{4\cdot1,4\cdot400}{2\,m-1}\\ \mathrm{nm} = \frac{2240}{2\,m-1}\\ \mathrm{nm}.
Para m=1: \lambda_1=2240\\ \mathrm{nm} (fora do visível).
Para m=2: \lambda_2\approx746{,}7\\ \mathrm{nm} (um pouco acima de 700 nm).
Para m=3: \lambda_3=2240/5=448\\ \mathrm{nm} (dentro de 400–700 nm).
Para m\ge4: \lambda<400\\ \mathrm{nm}, fora do visível.

Resposta

a) A diferença de fase adicional só por reflexões é \pi.
b) A única ordem que cai na região visível é m=3, ou seja
\lambda\approx448\\ \mathrm{nm}.

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