1. Um balde de massa desprezível, inicialmente no solo e contendo M quilos de água, é puxado verticalmente para cima com velocidade constante v \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A medida que ele sobe, a água é escoada a 0,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Determine, usando técnicas de integração, qual o trabalho necessário para que o balde seja erguido até uma altura H com relação ao solo, onde toda a água foi perdida. (5,0)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho feito por uma força que puxa o balde — de massa desprezível — contendo inicialmente M kg de água, à velocidade constante v, até uma altura H, durante a qual a água escorre a uma vazão constante de c=0,1\;\mathrm{kg/s}. Como a massa varia durante o percurso, usaremos integração para calcular o trabalho de uma força de peso variável.

Passo 2

Chamemos y a altura do balde e t o tempo. Como a velocidade é constante,
y = v\,t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{y}{v}.
A massa de água que resta no balde em y é
m(y) \;=\; M - c\,t \;=\; M - \bigl(c/v\bigr)\,y.

Passo 3

Em cada posição y, a força peso é
F(y) \;=\; m(y)\,g \;=\;\bigl(M - (c/v)\,y\bigr)\,g.
O trabalho para elevar o balde de y até y+dy é dW = F(y)\,dy. Logo, o trabalho total de y=0 até y=H vale
W \;=\;\int_{0}^{H}F(y)\,dy \;=\; g\int_{0}^{H}\Bigl(M - \tfrac{c}{v}y\Bigr)\,dy \;=\; g\Bigl[M\,H - \tfrac{c}{2v}\,H^{2}\Bigr].

Passo 4

Substituindo c=0,1\;\mathrm{kg/s},
W \;=\; g\Bigl[M\,H - \tfrac{0,1}{2\,v}\,H^{2}\Bigr] \;=\; g\Bigl(M\,H - \tfrac{0,05}{v}\,H^{2}\Bigr).

Passo 5

Como o enunciado diz que, ao atingir y=H, toda a água já se perdeu, impomos m(H)=0:
M - \frac{c}{v}\,H = 0 \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{M\,v}{c} = \frac{M\,v}{0,1} = 10\,M\,v.
Substituindo em W:
W = g\Bigl[M\,(10M\,v)\;-\;\tfrac{0,05}{v}\,(10M\,v)^{2}\Bigr] = g\bigl(10M^{2}v - 5M^{2}v\bigr) = 5\,M^{2}\,g\,v.

Resposta

W = 5\,M^{2}\,g\,v.

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