- Um balde de massa desprezível, inicialmente no solo e contendo M quilos de água, é puxado verticalmente para cima com velocidade constante
. A medida que ele sobe, a água é escoada a
. Determine, usando técnicas de integração, qual o trabalho necessário para que o balde seja erguido até uma altura H com relação ao solo, onde toda a água foi perdida.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho feito por uma força que puxa o balde — de massa desprezível — contendo inicialmente
kg de água, à velocidade constante
, até uma altura
, durante a qual a água escorre a uma vazão constante de
. Como a massa varia durante o percurso, usaremos integração para calcular o trabalho de uma força de peso variável.
Passo 2
Chamemos
a altura do balde e
o tempo. Como a velocidade é constante,
A massa de água que resta no balde em
é
Passo 3
Em cada posição
, a força peso é
O trabalho para elevar o balde de
até
é
. Logo, o trabalho total de
até
vale
Passo 4
Substituindo
,
Passo 5
Como o enunciado diz que, ao atingir
, toda a água já se perdeu, impomos
:
Substituindo em
: