Uma balsa de fundo plano, com formato retangular de 15 m largura por 55 m de comprimento, deve atravessar um rio numa velocidade de 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h} com relação às margens e numa direção perpendicular às mesmas. O rio é turbulento e a velocidade da correnteza é de 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual a potência necessária para vencer o atrito do fundo da balsa com o rio? Considere a viscosidade absoluta da água igual a 10^{-3} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede a potência necessária para vencer o atrito do fundo de uma balsa retangular que se move através de um rio. Dados fornecidos e o que é pedido:
  • Dimensões da balsa: largura 15\\ \mathrm{m} e comprimento 55\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade da balsa em relação às margens: 40\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade da correnteza do rio: 25\\ \mathrm{km/h}.
  • Viscosidade absoluta da água: \mu=10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • O rio é turbulento (isto sugere regime de escoamento turbulento na interface balsa-água).
  • Pede-se a potência necessária para vencer o atrito do fundo com a água (ou seja, potência dissipada por atrito de pele sobre a área do fundo).
Informações relevantes que usarei:
  • Área do fundo A = largura \times comprimento.
  • A velocidades dadas estão em \mathrm{km/h} e precisam ser convertidas para \mathrm{m/s}.
  • Para estimar a força de atrito de pele usarei o coeficiente de atrito de superfície para escoamento turbulento sobre placa plana e a fórmula de pressão dinâmica, porque a balsa é de fundo plano e o escoamento ao longo do fundo estará em regime turbulento (Reynolds grande). Vou precisar também da densidade da água; como não foi fornecida, adotarei \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão para água doce).

Passo 2

Converter as velocidades para \mathrm{m/s} e obter a velocidade relativa água–fundo:
  • Conversão: 1\\ \mathrm{km/h}= \dfrac{1000}{3600}=0,277777\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade da balsa em relação às margens:
v_b = 40\\ \mathrm{km/h}=40\cdot 0,277777\ldots = 11,111\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade da correnteza:
v_c = 25\\ \mathrm{km/h}=25\cdot 0,277777\ldots = 6,944444\ldots\\ \mathrm{m/s}.
A balsa atravessa perpendicularmente às margens e a corrente é paralela às margens; a velocidade relativa água–balsa é a soma vetorial entre v_b (perpendicular) e v_c (paralela). O módulo da velocidade relativa é
U = \sqrt{v_b^{2}+v_c^{2}}.

Passo 3

Calcular numericamente a velocidade relativa U:
v_b=11,111\\ \mathrm{m/s},\qquad v_c=6,9444\\ \mathrm{m/s},
U=\sqrt{(11,111)^{2}+(6,9444)^{2}}=\sqrt{123,4568+48,2253}=\sqrt{171,6821}\approx 13,11\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: estamos combinando as componentes ortogonais da velocidade por teorema de Pitágoras porque os vetores são perpendiculares; o resultado U é a velocidade com que a água passa relativamente ao fundo da balsa (essa velocidade gera o atrito de pele).

Passo 4

Calcular a área do fundo da balsa:
A = 15\\ \mathrm{m}\times 55\\ \mathrm{m}=825\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Estimar o regime de escoamento (Reynolds) e justificar o uso de fórmula para atrito turbulento.
  • A viscosidade cinemática da água é \nu=\dfrac{\mu}{\rho}=\dfrac{10^{-3}}{1000}=10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Tomamos como comprimento característico L o comprimento da balsa L=55\\ \mathrm{m}.
  • O número de Reynolds baseado em L é
\mathrm{Re}_L=\dfrac{U L}{\nu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}_L=\dfrac{13,11\cdot 55}{10^{-6}}\approx 7,21\times 10^{8}.
Como \mathrm{Re}_L é muito grande ( \gg 10^{6}), o escoamento sobre o fundo estará em regime turbulento — por isso usamos uma correlação de atrito para superfície plana turbulenta.

Passo 6

Apresentar a fórmula que relaciona coeficiente de atrito, força e potência, e explicar variáveis.
  • O coeficiente de atrito superficial médio para escoamento turbulento sobre placa plana pode ser aproximado por (correlação empírica):
C_{f} \approx \dfrac{0,074}{\mathrm{Re}_L^{1/5}}.
Explicação: C_f é adimensional e relaciona a tensão de cisalhamento média na parede com a pressão dinâmica. Essa expressão é válida para escoamento turbulento plenamente desenvolvido sobre placa plana.
  • A força de atrito total sobre a área A é dada por
F = \tfrac{1}{2}\,\rho\,U^{2}\,C_{f}\,A,
onde \tfrac{1}{2}\rho U^{2} é a pressão dinâmica (energia cinética por volume) e C_f transforma essa pressão dinâmica em tensão de cisalhamento efetiva média sobre a área.
  • A potência necessária para vencer esse atrito (potência dissipada por arrasto) é
P = F\,U.
Explicação: potência é força vezes velocidade; aqui a força de atrito age oposta ao movimento relativo e o produto com a velocidade relativa dá a potência dissipada.

Passo 7

Calcular C_f, a força F e finalmente a potência P.
  • Primeiro calcular C_f:
\mathrm{Re}_L\approx 7,21\times 10^{8}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{Re}_L^{1/5}\approx 59{,}17,
C_f \approx \dfrac{0{,}074}{59{,}17}\approx 0{,}001251.
  • Calcular a pressão dinâmica:
\tfrac{1}{2}\rho U^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot (13{,}11)^{2}=500\cdot 171{,}682\approx 85\,841\\ \mathrm{Pa}.
  • Força de atrito:
F = 85\,841\cdot 0{,}001251\cdot 825 \approx 8{,}85\times 10^{4}\\ \mathrm{N}.
(Determinando passo a passo: 85\,841\times 0{,}001251\approx 107{,}3, e 107{,}3\times 825\approx 88{,}5\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.)
  • Potência:
P = F\,U \approx 88{,}5\times 10^{3}\\ \mathrm{N}\times 13{,}11\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}16\times 10^{6}\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Interpretação e observações finais (didáticas e de prova):
  • Resultado obtido é uma estimativa baseada em correlação empírica para atrito de pele em escoamento turbulento sobre placa plana; para cascos mais complexos existem correções, mas este é o procedimento padrão quando se tem fundo plano e dados limitados.
  • Usei \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e a correlação C_f=0{,}074/\mathrm{Re}^{1/5}. Outra correlação (ITTC) daria um valor de C_f da mesma ordem de grandeza e potência similar; portanto a ordem de grandeza (megawatts) é confiável.
  • Em prova, mostre os passos: conversão de unidades, vetor velocidade relativa, cálculo de \mathrm{Re}, escolha da correlação (justifique regime turbulento), aplicação da fórmula F=\tfrac{1}{2}\rho U^{2} C_f A e P=F U.

Resposta

P\approx 1,16\times 10^{6}\\ \mathrm{W} (aprox. 1{,}16\\ \mathrm{MW}).

Exercícios relacionados