Uma balsa de fundo plano, com formato retangular de 15 m largura por 55 m de comprimento, deve atravessar um rio numa velocidade de
com relação às margens e numa direção perpendicular às mesmas. O rio é turbulento e a velocidade da correnteza é de
. Qual a potência necessária para vencer o atrito do fundo da balsa com o rio? Considere a viscosidade absoluta da água igual a
. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede a potência necessária para vencer o atrito do fundo de uma balsa retangular que se move através de um rio. Dados fornecidos e o que é pedido:
- Dimensões da balsa: largura
e comprimento . - Velocidade da balsa em relação às margens:
. - Velocidade da correnteza do rio:
. - Viscosidade absoluta da água:
. - O rio é turbulento (isto sugere regime de escoamento turbulento na interface balsa-água).
- Pede-se a potência necessária para vencer o atrito do fundo com a água (ou seja, potência dissipada por atrito de pele sobre a área do fundo).
Informações relevantes que usarei:
- Área do fundo
largura comprimento. - A velocidades dadas estão em
e precisam ser convertidas para . - Para estimar a força de atrito de pele usarei o coeficiente de atrito de superfície para escoamento turbulento sobre placa plana e a fórmula de pressão dinâmica, porque a balsa é de fundo plano e o escoamento ao longo do fundo estará em regime turbulento (Reynolds grande). Vou precisar também da densidade da água; como não foi fornecida, adotarei
(valor padrão para água doce).
Passo 2
Converter as velocidades para
e obter a velocidade relativa água–fundo:
- Conversão:
. - Velocidade da balsa em relação às margens:
- Velocidade da correnteza:
A balsa atravessa perpendicularmente às margens e a corrente é paralela às margens; a velocidade relativa água–balsa é a soma vetorial entre
(perpendicular) e
(paralela). O módulo da velocidade relativa é
Passo 3
Calcular numericamente a velocidade relativa
:
Explicação didática: estamos combinando as componentes ortogonais da velocidade por teorema de Pitágoras porque os vetores são perpendiculares; o resultado
é a velocidade com que a água passa relativamente ao fundo da balsa (essa velocidade gera o atrito de pele).
Passo 4
Calcular a área do fundo da balsa:
Passo 5
Estimar o regime de escoamento (Reynolds) e justificar o uso de fórmula para atrito turbulento.
- A viscosidade cinemática da água é
. - Tomamos como comprimento característico
o comprimento da balsa . - O número de Reynolds baseado em
é
Substituindo:
Como
é muito grande (
), o escoamento sobre o fundo estará em regime turbulento — por isso usamos uma correlação de atrito para superfície plana turbulenta.
Passo 6
Apresentar a fórmula que relaciona coeficiente de atrito, força e potência, e explicar variáveis.
- O coeficiente de atrito superficial médio para escoamento turbulento sobre placa plana pode ser aproximado por (correlação empírica):
Explicação:
é adimensional e relaciona a tensão de cisalhamento média na parede com a pressão dinâmica. Essa expressão é válida para escoamento turbulento plenamente desenvolvido sobre placa plana.
- A força de atrito total sobre a área
é dada por
onde
é a pressão dinâmica (energia cinética por volume) e
transforma essa pressão dinâmica em tensão de cisalhamento efetiva média sobre a área.
- A potência necessária para vencer esse atrito (potência dissipada por arrasto) é
Explicação: potência é força vezes velocidade; aqui a força de atrito age oposta ao movimento relativo e o produto com a velocidade relativa dá a potência dissipada.
Passo 7
Calcular
, a força
e finalmente a potência
.
- Primeiro calcular
:
- Calcular a pressão dinâmica:
- Força de atrito:
(Determinando passo a passo:
, e
.)
- Potência:
Passo 8
Interpretação e observações finais (didáticas e de prova):
- Resultado obtido é uma estimativa baseada em correlação empírica para atrito de pele em escoamento turbulento sobre placa plana; para cascos mais complexos existem correções, mas este é o procedimento padrão quando se tem fundo plano e dados limitados.
- Usei
e a correlação . Outra correlação (ITTC) daria um valor de da mesma ordem de grandeza e potência similar; portanto a ordem de grandeza (megawatts) é confiável. - Em prova, mostre os passos: conversão de unidades, vetor velocidade relativa, cálculo de
, escolha da correlação (justifique regime turbulento), aplicação da fórmula e .