Considere uma parede plana de espessura L , em regime permanente, com geração volumétrica uniforme de calor
e condutividade térmica constante k. Marque a assertiva incorreta (2pts):
(a) O perfil de temperatura dentro da parede é parabólico.
(b) O gradiente de temperatura
é constante em toda a parede.
(c) O fluxo de calor varia ao longo da espessura da parede.
(d) Se o calor for gerado uniformemente, o ponto de temperatura máxima ocorre no centro da parede, se as duas faces estiverem à mesma temperatura.
(e) Quando a taxa de geração de calor aumenta, a temperatura máxima também aumenta.
(a) O perfil de temperatura dentro da parede é parabólico.
(b) O gradiente de temperatura
(c) O fluxo de calor varia ao longo da espessura da parede.
(d) Se o calor for gerado uniformemente, o ponto de temperatura máxima ocorre no centro da parede, se as duas faces estiverem à mesma temperatura.
(e) Quando a taxa de geração de calor aumenta, a temperatura máxima também aumenta.
Passo 1
O enunciado dá: uma parede plana de espessura
, em regime permanente, com geração volumétrica uniforme de calor
e condutividade térmica constante
. Pede-se marcar a assertiva incorreta entre as opções (a)–(e). Vou listar as informações relevantes extraídas do enunciado:
- Espessura da parede:
. - Regime permanente (estado estacionário): temperaturas não dependem do tempo.
- Geração volumétrica uniforme de calor:
é constante (não nula). - Condutividade térmica:
constante.
As alternativas a avaliar são:
(a) O perfil de temperatura dentro da parede é parabólico.
(b) O gradiente de temperaturaé constante em toda a parede.
(c) O fluxo de calor varia ao longo da espessura da parede.
(d) Se o calor for gerado uniformemente, o ponto de temperatura máxima ocorre no centro da parede, se as duas faces estiverem à mesma temperatura.
(e) Quando a taxa de geração de calor aumenta, a temperatura máxima também aumenta.
Passo 2
Escrever a equação diferencial que governa a temperatura em 1D no estado estacionário com geração volumétrica. Explicação didática: em regime permanente, o balanço de energia por condução em uma fati a diferencial da parede (sem acúmulo de energia) dá que a divergência do fluxo de calor mais a geração interna deve ser zero. Como a condutividade
é constante e assumimos variação apenas na direção
, a equação é
Aqui:
-
é a temperatura em função da posição , -
é a geração volumétrica (potência por volume), -
é a condutividade térmica (constante).
Passo 3
Simplificar a equação usando
constante. Como
é constante, pode-se tirar
para fora da derivada:
Dividindo por
obtemos a forma mais simples:
Comentário: essa equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com a segunda derivada constante (pois o lado direito é constante).
Passo 4
Integrar a equação diferencial para obter o gradiente e a temperatura. Integração da expressão da segunda derivada:
primeira integração:
primeira integração:
onde
é constante de integração. Segunda integração:
onde
é outra constante de integração. Observação didática: como a expressão de
é um polinômio de segundo grau em
, o perfil de temperatura é uma parábola (forma quadrática).
Passo 5
Relacionar o resultado com a alternativa (a). A alternativa (a) afirma que o perfil de temperatura é parabólico. Do passo anterior temos
que é explicitamente uma função quadrática em
. Portanto (a) é correta.
Passo 6
Analisar o gradiente de temperatura e relacionar com a alternativa (b). Do passo 4 temos o gradiente
Isto é uma função afim (linear em
), ou seja, depende de
quando
. Portanto o gradiente
não é constante ao longo da parede, salvo na situação especial
. Conclusão: a alternativa (b) afirma que o gradiente é constante em toda a parede — isso é falso no caso dado (geração uniforme não nula).
Passo 7
Examinar o fluxo de calor e relacionar com a alternativa (c). Lembrete: o fluxo de calor unidirecional por condução (sinal para a direção
) é dado pela lei de Fourier:
Substituindo o gradiente do passo 6:
Isto mostra que o fluxo varia linearmente com
quando
. Portanto a alternativa (c) — “O fluxo de calor varia ao longo da espessura da parede” — é correta.
Passo 8
Verificar as alternativas (d) e (e) com condições físicas. Para (d): considere o caso comum de faces à mesma temperatura; é conveniente escolher o eixo com o centro da parede em
e faces em
. Pela simetria e pelas mesmas temperaturas nas faces, o gradiente no centro deve ser zero, o que implica
nesse sistema de coordenadas centrado. Assim
onde
. Essa função tem máximo em
(centro) porque o coeficiente de
é negativo quando
. Logo (d) é correta. Para (e): note que
aparece na solução como termo que aumenta quando
aumenta (para manter as mesmas temperaturas de contorno, o centro precisa subir mais), ou visto diretamente, a curvatura da parábola cresce com
e a diferença entre
e as faces cresce com
. Portanto (e) também é correta.
Passo 9
Conclusão lógica: das alternativas (a)–(e), verificamos:
- (a) verdadeira (perfil parabólico),
- (b) falsa (gradiente não é constante quando
), - (c) verdadeira (fluxo varia com
), - (d) verdadeira (máxima no centro se faces com mesma
), - (e) verdadeira (aumento de
eleva a temperatura máxima).
Portanto a alternativa incorreta é a (b).
Resposta
(b)