Considere uma parede plana de espessura L , em regime permanente, com geração volumétrica uniforme de calor \left(q^{\cdot \prime \prime \prime} \neq 0\right) e condutividade térmica constante k. Marque a assertiva incorreta (2pts):
(a) O perfil de temperatura dentro da parede é parabólico.
(b) O gradiente de temperatura (\mathrm{dT} / \mathrm{dx}) é constante em toda a parede.
(c) O fluxo de calor varia ao longo da espessura da parede.
(d) Se o calor for gerado uniformemente, o ponto de temperatura máxima ocorre no centro da parede, se as duas faces estiverem à mesma temperatura.
(e) Quando a taxa de geração de calor aumenta, a temperatura máxima também aumenta.

Passo 1

O enunciado dá: uma parede plana de espessura L, em regime permanente, com geração volumétrica uniforme de calor \left(q^{\cdot\prime\prime\prime}\neq 0\right) e condutividade térmica constante k. Pede-se marcar a assertiva incorreta entre as opções (a)–(e). Vou listar as informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Espessura da parede: L.
  • Regime permanente (estado estacionário): temperaturas não dependem do tempo.
  • Geração volumétrica uniforme de calor: \displaystyle q^{\cdot\prime\prime\prime} é constante (não nula).
  • Condutividade térmica: k constante.
    As alternativas a avaliar são:
    (a) O perfil de temperatura dentro da parede é parabólico.
    (b) O gradiente de temperatura \left(\mathrm{dT}/\mathrm{dx}\right) é constante em toda a parede.
    (c) O fluxo de calor varia ao longo da espessura da parede.
    (d) Se o calor for gerado uniformemente, o ponto de temperatura máxima ocorre no centro da parede, se as duas faces estiverem à mesma temperatura.
    (e) Quando a taxa de geração de calor aumenta, a temperatura máxima também aumenta.

Passo 2

Escrever a equação diferencial que governa a temperatura em 1D no estado estacionário com geração volumétrica. Explicação didática: em regime permanente, o balanço de energia por condução em uma fati a diferencial da parede (sem acúmulo de energia) dá que a divergência do fluxo de calor mais a geração interna deve ser zero. Como a condutividade k é constante e assumimos variação apenas na direção x, a equação é
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right) + q^{\cdot\prime\prime\prime}=0.
Aqui:
  • T(x) é a temperatura em função da posição x,
  • \displaystyle q^{\cdot\prime\prime\prime} é a geração volumétrica (potência por volume),
  • k é a condutividade térmica (constante).

Passo 3

Simplificar a equação usando k constante. Como k é constante, pode-se tirar k para fora da derivada:
k\frac{d^2T}{dx^2} + q^{\cdot\prime\prime\prime}=0.
Dividindo por k obtemos a forma mais simples:
\frac{d^2T}{dx^2} = -\frac{q^{\cdot\prime\prime\prime}}{k}.
Comentário: essa equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com a segunda derivada constante (pois o lado direito é constante).

Passo 4

Integrar a equação diferencial para obter o gradiente e a temperatura. Integração da expressão da segunda derivada:
primeira integração:
\frac{dT}{dx} = -\frac{q^{\cdot\prime\prime\prime}}{k}\,x + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Segunda integração:
T(x) = -\frac{q^{\cdot\prime\prime\prime}}{2k}\,x^2 + C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Observação didática: como a expressão de T(x) é um polinômio de segundo grau em x, o perfil de temperatura é uma parábola (forma quadrática).

Passo 5

Relacionar o resultado com a alternativa (a). A alternativa (a) afirma que o perfil de temperatura é parabólico. Do passo anterior temos
T(x) = -\frac{q^{\cdot\prime\prime\prime}}{2k}\,x^2 + C_1 x + C_2,
que é explicitamente uma função quadrática em x. Portanto (a) é correta.

Passo 6

Analisar o gradiente de temperatura e relacionar com a alternativa (b). Do passo 4 temos o gradiente
\frac{dT}{dx} = -\frac{q^{\cdot\prime\prime\prime}}{k}\,x + C_1.
Isto é uma função afim (linear em x), ou seja, depende de x quando q^{\cdot\prime\prime\prime}\neq 0. Portanto o gradiente \mathrm{dT}/\mathrm{dx} não é constante ao longo da parede, salvo na situação especial q^{\cdot\prime\prime\prime}=0. Conclusão: a alternativa (b) afirma que o gradiente é constante em toda a parede — isso é falso no caso dado (geração uniforme não nula).

Passo 7

Examinar o fluxo de calor e relacionar com a alternativa (c). Lembrete: o fluxo de calor unidirecional por condução (sinal para a direção x) é dado pela lei de Fourier:
q_x(x) = -k\frac{dT}{dx}.
Substituindo o gradiente do passo 6:
q_x(x) = -k\left(-\frac{q^{\cdot\prime\prime\prime}}{k}\,x + C_1\right) = q^{\cdot\prime\prime\prime}\,x - kC_1.
Isto mostra que o fluxo varia linearmente com x quando q^{\cdot\prime\prime\prime}\neq 0. Portanto a alternativa (c) — “O fluxo de calor varia ao longo da espessura da parede” — é correta.

Passo 8

Verificar as alternativas (d) e (e) com condições físicas. Para (d): considere o caso comum de faces à mesma temperatura; é conveniente escolher o eixo com o centro da parede em x=0 e faces em x=\pm L/2. Pela simetria e pelas mesmas temperaturas nas faces, o gradiente no centro deve ser zero, o que implica C_1=0 nesse sistema de coordenadas centrado. Assim
T(x)= -\frac{q^{\cdot\prime\prime\prime}}{2k}\,x^2 + T_{\max},
onde T_{\max}=T(0). Essa função tem máximo em x=0 (centro) porque o coeficiente de x^2 é negativo quando q^{\cdot\prime\prime\prime}>0. Logo (d) é correta. Para (e): note que T_{\max}=T(0) aparece na solução como termo que aumenta quando q^{\cdot\prime\prime\prime} aumenta (para manter as mesmas temperaturas de contorno, o centro precisa subir mais), ou visto diretamente, a curvatura da parábola cresce com q^{\cdot\prime\prime\prime} e a diferença entre T_{\max} e as faces cresce com q^{\cdot\prime\prime\prime}. Portanto (e) também é correta.

Passo 9

Conclusão lógica: das alternativas (a)–(e), verificamos:
  • (a) verdadeira (perfil parabólico),
  • (b) falsa (gradiente não é constante quando \,q^{\cdot\prime\prime\prime}\neq 0),
  • (c) verdadeira (fluxo varia com x),
  • (d) verdadeira (máxima no centro se faces com mesma T),
  • (e) verdadeira (aumento de q^{\cdot\prime\prime\prime} eleva a temperatura máxima).
    Portanto a alternativa incorreta é a (b).

Resposta

(b)

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