A energia contida num escoamento sem atrito, por unidade de massa do fluido h[\mathrm{~J} / \mathrm{kg}], depende da velocidade V[\mathrm{~m} / \mathrm{s}], da pressão absoluta P[\mathrm{~Pa}], da densidade \rho\left[\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right] da altura com relação a um referencial z[\mathrm{~m}] e da aceleração da gravidade g[\mathrm{~m} / \mathrm{s}]. Encontre os grupos adimensionais deste problema através do Teorema Pi de Buckingham. Entre as variáveis repetidas, use h e z. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os grupos adimensionais do problema usando o Teorema \Pi de Buckingham. As variáveis envolvidas e suas unidades são:
Foi solicitado explicitamente que, entre as variáveis repetidas, usemos \,h e \,z. O objetivo final é obter os grupos adimensionais \Pi que combinam essas variáveis de forma que fiquem sem dimensão.
Passo 2
Breve recordatório do método (estou aqui te guiando passo a passo): o Teorema \Pi diz que, se temos n variáveis físicas envolvendo k dimensões fundamentais independentes (aqui M, L, T), então existem n-k grupos adimensionais independentes. Primeiro contamos:
n=6\quad(\text{variáveis }h,V,P,\rho,z,g).
As dimensões fundamentais são M,L,T, então k=3. Portanto o número de grupos será
n-k=6-3=3.
Logo devemos encontrar três grupos \Pi_1,\Pi_2,\Pi_3.
Passo 3
Escolha das variáveis repetidas: o enunciado exige que incluamos \,h e \,z entre as repetidas. Precisamos de k=3 repetidas linearmente independentes (para poder eliminar as M,L,T). Escolho a terceira repetida como \rho (densidade), formando o conjunto de repetidas
\{h,\,z,\,\rho\}.
Justificativa: \rho traz a dimensão de massa M; z traz a dimensão de comprimento L; h tem fator temporal (T^{-2}) e comprimento (L^{2}), então juntas essas três cobrem M, L e T. Assim são adequadas como variáveis repetidas.
Passo 4
Escrevemos as dimensões (síntese rápida, cada uma entre parênteses com M,L,T):
Estratégia prática: para cada variável não repetida (aqui escolhemos as não repetidas V, P e g) formamos um grupo do tipo
\Pi = h^{a} z^{b} \rho^{c} (\text{variável não repetida})^{1},
e escolhemos a,b,c de modo que todas as potências de M, L, T se anulem (ficando sem dimensão). Vou fazer isso um por um, resolvendo o sistema linear de expoentes explicitamente (sem pular etapas).
Passo 6
Construção de [\Pi_1) envolvendo V.
Tomamos
\Pi_{1} = h^{a}\, z^{b}\, \rho^{c}\, V.
Escrevemos a dimensão de \Pi_{1} multiplicando as dimensões:
(Interpretação: razão entre a energia potencial por massa zg e a energia por massa h.)]
Passo 9
Resumo e observação final: obtivemos exatamente três grupos adimensionais independentes (como esperado), construídos usando as repetidas \{h,z,\rho\} e as não repetidas \{V,P,g\}. As formas encontradas são simples e fáceis de interpretar fisicamente.