A energia contida num escoamento sem atrito, por unidade de massa do fluido h[\mathrm{~J} / \mathrm{kg}], depende da velocidade V[\mathrm{~m} / \mathrm{s}], da pressão absoluta P[\mathrm{~Pa}], da densidade \rho\left[\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right] da altura com relação a um referencial z[\mathrm{~m}] e da aceleração da gravidade g[\mathrm{~m} / \mathrm{s}]. Encontre os grupos adimensionais deste problema através do Teorema Pi de Buckingham. Entre as variáveis repetidas, use h e z. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os grupos adimensionais do problema usando o Teorema \Pi de Buckingham. As variáveis envolvidas e suas unidades são:
\begin{aligned} &h\quad[\mathrm{J/kg}],\\\ &V\quad[\mathrm{m/s}],\\\ &P\quad[\mathrm{Pa}],\\\ &\rho\quad[\mathrm{kg/m^{3}}],\\\ &z\quad[\mathrm{m}],\\\ &g\quad[\mathrm{m/s^{2}}]. \end{aligned}
Foi solicitado explicitamente que, entre as variáveis repetidas, usemos \,h e \,z. O objetivo final é obter os grupos adimensionais \Pi que combinam essas variáveis de forma que fiquem sem dimensão.

Passo 2

Breve recordatório do método (estou aqui te guiando passo a passo): o Teorema \Pi diz que, se temos n variáveis físicas envolvendo k dimensões fundamentais independentes (aqui M, L, T), então existem n-k grupos adimensionais independentes. Primeiro contamos:
n=6\quad(\text{variáveis }h,V,P,\rho,z,g).á
As dimensões fundamentais são M,L,T, então k=3. Portanto o número de grupos será
n-k=6-3=3.
Logo devemos encontrar três grupos \Pi_1,\Pi_2,\Pi_3.

Passo 3

Escolha das variáveis repetidas: o enunciado exige que incluamos \,h e \,z entre as repetidas. Precisamos de k=3 repetidas linearmente independentes (para poder eliminar as M,L,T). Escolho a terceira repetida como \rho (densidade), formando o conjunto de repetidas
\{h,\,z,\,\rho\}.
Justificativa: \rho traz a dimensão de massa M; z traz a dimensão de comprimento L; h tem fator temporal ( T^{-2}) e comprimento ( L^{2}), então juntas essas três cobrem M, L e T. Assim são adequadas como variáveis repetidas.

Passo 4

Escrevemos as dimensões (síntese rápida, cada uma entre parênteses com M,L,T):
\begin{aligned} &[h] = L^{2}T^{-2},\\\ &[z] = L,\\\ &[\rho] = M\,L^{-3},\\\ &[V] = L\,T^{-1},\\\ &[P] = M\,L^{-1}T^{-2},\\\ &[g] = L\,T^{-2}. \end{aligned}

Passo 5

Estratégia prática: para cada variável não repetida (aqui escolhemos as não repetidas V, P e g) formamos um grupo do tipo
\Pi = h^{a} z^{b} \rho^{c} (\text{variável não repetida})^{1},áã
e escolhemos a,b,c de modo que todas as potências de M, L, T se anulem (ficando sem dimensão). Vou fazer isso um por um, resolvendo o sistema linear de expoentes explicitamente (sem pular etapas).

Passo 6

Construção de [\Pi_1) envolvendo V.
Tomamos
\Pi_{1} = h^{a}\, z^{b}\, \rho^{c}\, V.
Escrevemos a dimensão de \Pi_{1} multiplicando as dimensões:
[h^{a}]=L^{2a}T^{-2a},\quad [z^{b}]=L^{b},\quad [\rho^{c}]=M^{c}L^{-3c},\quad [V]=L^{1}T^{-1}.
Combinando:
[\Pi_{1}]=M^{c}\;L^{2a+b-3c+1}\;T^{-2a-1}.
Para que \Pi_{1} seja adimensional, os expoentes de M,L,T devem ser zero. Assim obtemos o sistema
\begin{cases} \text{(M): } & c = 0,\\[4pt] \text{(T): } & -2a-1 = 0,\\[4pt] \text{(L): } & 2a+b-3c+1 = 0. \end{cases}
Resolvendo: da segunda equação -2a-1=0\] segue \[a = -\tfrac{1}{2}.\] Da primeira, \(c=0. Substituindo em (L):
2(-\tfrac{1}{2}) + b - 0 +1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -1 + b +1 = 0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Logo a=-\tfrac{1}{2},\,b=0,\,c=0. Substituindo em \Pi_{1}:
\Pi_{1} = h^{-1/2}\,V = \dfrac{V}{\sqrt{h}}.
(Interpretação: \sqrt{h} tem unidade de velocidade, então \Pi_1 compara a velocidade característica com \sqrt{h}.)]

Passo 7

Construção de [\Pi_2) envolvendo P.
Tomamos
\Pi_{2} = h^{a}\, z^{b}\, \rho^{c}\, P.
Dimensões:
[h^{a}]=L^{2a}T^{-2a},\quad [z^{b}]=L^{b},\quad [\rho^{c}]=M^{c}L^{-3c},\quad [P]=M^{1}L^{-1}T^{-2}.
Combinando:
[\Pi_{2}]=M^{c+1}\;L^{2a+b-3c-1}\;T^{-2a-2}.
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} \text{(M): } & c+1 = 0,\\[4pt] \text{(T): } & -2a-2 = 0,\\[4pt] \text{(L): } & 2a+b-3c-1 = 0. \end{cases}
Da primeira equação c=-1\]. Da segunda \(-2a-2=0\Rightarrow a=-1. Substituindo em (L):
2(-1)+b-3(-1)-1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2 + b +3 -1 = 0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Portanto a=-1,\,b=0,\,c=-1. Assim
\Pi_{2} = h^{-1}\,\rho^{-1}\,P = \dfrac{P}{\rho\,h}.
(Interpretação: \rho h tem unidades de pressão, então \Pi_2 é a razão entre a pressão e a referência \rho h.)]

Passo 8

Construção de [\Pi_3) envolvendo g.
Tomamos
\Pi_{3} = h^{a}\, z^{b}\, \rho^{c}\, g.
Dimensões:
[h^{a}]=L^{2a}T^{-2a},\quad [z^{b}]=L^{b},\quad [\rho^{c}]=M^{c}L^{-3c},\quad [g]=L^{1}T^{-2}.
Combinando:
[\Pi_{3}]=M^{c}\;L^{2a+b-3c+1}\;T^{-2a-2}.
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} \text{(M): } & c = 0,\\[4pt] \text{(T): } & -2a-2 = 0,\\[4pt] \text{(L): } & 2a+b-3c+1 = 0. \end{cases}
Da primeira c=0\]. Da segunda \(-2a-2=0\Rightarrow a=-1. Substituindo em (L):
2(-1)+b+1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2 + b +1 = 0 \quad\Rightarrow\quad b=1.
Logo a=-1,\,b=1,\,c=0. Assim
\Pi_{3} = h^{-1}\, z^{1}\, g = \dfrac{z\,g}{h}.
(Interpretação: razão entre a energia potencial por massa zg e a energia por massa h.)]

Passo 9

Resumo e observação final: obtivemos exatamente três grupos adimensionais independentes (como esperado), construídos usando as repetidas \{h,z,\rho\} e as não repetidas \{V,P,g\}. As formas encontradas são simples e fáceis de interpretar fisicamente.

Resposta

\displaystyle \Pi_{1}=\dfrac{V}{\sqrt{h}}
\displaystyle \Pi_{2}=\dfrac{P}{\rho\,h}
\displaystyle \Pi_{3}=\dfrac{z\,g}{h}

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