Um rotor de ventilador possui três pás igualmente espaçadas e raio de 0,15 m. Durante um teste a 3000 RPM, foi identificado um desbalanceamento resultante que gera uma força centrífuga de 510 N , cuja direção está a 40^{\circ} acima da primeira pá, medida no sentido anti-horário. Para corrigir o desbalanceamento, admite-se a colocação de massas corretoras nas três pás. Determine as massas que devem ser adicionadas a uma distância de 100 mm do centro do rotor, de modo que o equilíbrio dinâmico seja restabelecido, considerando que se deseja minimizar a massa total adicionada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente o que calcular:
  • Há três pás igualmente espaçadas (ou seja, posições angulares separadas por 120^\circ).
  • O raio do rotor é 0,15\\ \mathrm{m} (informação do rotor).
  • As massas corretoras serão colocadas a uma distância de 100\\ \mathrm{mm}=0,10\\ \mathrm{m} do centro (essa é a posição onde cada massa gera sua força centrífuga).
  • Durante o teste (velocidade de rotação) a 3000\\ \mathrm{RPM} foi medida uma força de desbalanceamento resultante de 510\\ \mathrm{N}.
  • A direção dessa força está a 40^\circ acima da primeira pá, medida no sentido anti-horário. Vou tomar a direção da primeira pá como referência angular 0^\circ (eixos: x na direção da primeira pá, y positivo no sentido anti-horário). Assim a força não corrigida atua no ângulo \,40^\circ.
  • Objetivo: determinar as massas a adicionar nas três pás, colocadas a r=0,10\\ \mathrm{m}, de modo que o equilíbrio dinâmico seja restabelecido e a massa total adicionada seja mínima.
  • Observação importante: massas fisicamente só podem ser não-negativas ( m_i\ge 0).
A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (com explicação clara):
  • Conversão de velocidade de rotação para velocidade angular: se a rotação é n em RPM, a velocidade angular \omega em rad/s é dada por
\omega = 2\pi\frac{n}{60}.
Aqui n=3000\\ \mathrm{RPM}. Calculando:
\omega = 2\pi\frac{3000}{60} = 2\pi\cdot 50 = 100\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Força centrífuga gerada por uma massa m que gira a velocidade angular \omega à distância r:
F_c = m\,\omega^2 r.
Explicando as variáveis: m em kg, \omega em rad/s, r em m; F_c em N.
  • Como as massas corretoras serão colocadas todas na mesma distância r=0,10\\ \mathrm{m} e giram com a mesma \omega, é útil definir a constante
k=\omega^2 r.
Então a força (magnitude) gerada por uma massa m é simplesmente F = k\,m. Calculando k:
\omega=100\pi\quad\Rightarrow\quad \omega^2=(100\pi)^2=10000\pi^2,
k=\omega^2 r = 10000\pi^2\cdot 0,10 = 1000\pi^2\\ \mathrm{N/kg}\approx 9869{,}6044\\ \mathrm{N/kg}.
Isso significa: cada 1\\ \mathrm{kg} colocado em 0{,}10\\ \mathrm{m} gera cerca de 9869{,}6\\ \mathrm{N} radialmente.

Passo 3

Representação vetorial da força de desbalanceamento que temos que cancelar:
  • A força de desbalanceamento tem magnitude 510\\ \mathrm{N} e ângulo \,40^\circ (referido à primeira pá, que tomamos como \,0^\circ). O vetor da força não corrigida é, em componentes:
F_x = 510\cos 40^\circ,\qquad F_y = 510\sin 40^\circ.
  • Como queremos anular esse desbalanceamento, as forças geradas pelas massas adicionadas devem somar-se vetorialmente a -\mathbf{F} (o vetor oposto). Vou chamar \mathbf{T}=-\mathbf{F} o vetor alvo que as massas devem produzir:
\mathbf{T} = (T_x,T_y)=(-510\cos40^\circ,\;-510\sin40^\circ).
  • Valores numéricos (usei os valores trigonométricos padrão): \cos40^\circ\approx 0{,}7660444431, \sin40^\circ\approx 0{,}6427876097. Portanto
T_x\approx -390{,}682666\\ \mathrm{N},\qquad T_y\approx -327{,}821681\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Modelagem das forças produzidas pelas massas adicionadas e equações a resolver:
  • Denoto por m_1,m_2,m_3 as massas adicionadas nas pás em ângulos \,0^\circ,\;120^\circ,\;240^\circ, respectivamente. Cada massa m_i gera uma força vetorial \mathbf{F}_i de magnitude k\,m_i na direção radial da pá. Os vetores unitários nas direções das pás são:
\mathbf{u}_1=(\cos0^\circ,\sin0^\circ)=(1,0),
\mathbf{u}_2=(\cos120^\circ,\sin120^\circ)=\Big(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big),
\mathbf{u}_3=(\cos240^\circ,\sin240^\circ)=\Big(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big).
  • Logo as forças das massas são \mathbf{F}_i = k m_i \mathbf{u}_i. A condição de equilíbrio (somatório das forças das massas = vetor alvo \mathbf{T}) dá, em componentes:
k\big(m_1 + (-\tfrac12)m_2 + (-\tfrac12)m_3\big) = T_x,
k\big(0 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}m_2 + (-\tfrac{\sqrt{3}}{2})m_3\big) = T_y.
  • Dividindo as duas equações por k (pois k\neq 0) obtemos o sistema linear em m_i:
m_1 - \tfrac12 m_2 - \tfrac12 m_3 = \frac{T_x}{k},
\tfrac{\sqrt{3}}{2}(m_2 - m_3) = \frac{T_y}{k}.
Para abreviar, defino
A=\frac{T_x}{k},\qquad B=\frac{T_y}{k},
com valores numéricos
A\approx \frac{-390{,}682666}{9869{,}604401}\approx -0{,}039584,
B\approx \frac{-327{,}821681}{9869{,}604401}\approx -0{,}033223.

Passo 5

Análise das soluções e condição de mínimo da massa total:
  • Temos duas equações lineares e três incógnitas: há infinitas soluções reais. Contudo fisicamente as massas devem satisfazer m_i\ge 0.
  • O objetivo é minimizar a massa total adicionada
M=m_1+m_2+m_3,
sujeito às duas equações e m_i\ge 0. Do ponto de vista geométrico (representando vetores no plano), estamos procurando coeficientes não-negativos w_i=k m_i (forças em N nas direções fixas das pás) tais que
w_1\mathbf{u}_1+w_2\mathbf{u}_2+w_3\mathbf{u}_3=\mathbf{T},
e minimizamos \sum m_i = \frac{1}{k}\sum w_i. Portanto minimizar \sum m_i é equivalente a minimizar \sum w_i com w_i\ge 0.
  • Em duas dimensões qualquer vetor pode ser representado por combinação linear de, no máximo, duas direções que formem base para o plano. Assim o mínimo (com coeficientes não-negativos) é alcançado com, no máximo, duas massas não-nulas (porque usar três direções não-colineares e coeficientes não-negativos teria soma de magnitudes maior ou igual à soma em alguma dupla que compõe o mesmo vetor). Na prática, tentamos as representações usando apenas pares de pás e verificamos qual é viável com w_i\ge0.
  • Vou testar, de forma sistemática, as três possibilidades de pares: (1,2), (1,3) e (2,3). Para cada par resolvo o sistema 2×2 em w-s (onde w_i=k m_i) e verifico sinal dos w-s.

Passo 6

Tentativa com pares de pás (cálculos detalhados):
Definindo w_i=k m_i (força gerada pela massa m_i, em N). O alvo é \mathbf{T}. Os vetores unitários \mathbf{u}_i já dados.
  • Par (1,2): resolver
w_1\mathbf{u}_1 + w_2\mathbf{u}_2 = \mathbf{T}.
Componentes: w_1 - \tfrac12 w_2 = T_x e \tfrac{\sqrt{3}}{2}w_2 = T_y. Da segunda \,w_2 = \dfrac{2T_y}{\sqrt{3}}. Como T_y\approx -327{,}82\\ \mathrm{N}, isso dá w_2 negativo, portanto não é viável (não se pode ter massa negativa).
  • Par (1,3): resolver
w_1\mathbf{u}_1 + w_3\mathbf{u}_3 = \mathbf{T}.
Componentes: w_1 - \tfrac12 w_3 = T_x e -\tfrac{\sqrt{3}}{2}w_3 = T_y. Da segunda vem w_3 = -\dfrac{2T_y}{\sqrt{3}}. Como T_y é negativo, isso produz w_3>0, mas substituindo na primeira fica w_1 = T_x + \tfrac12 w_3 que resulta em w_1<0 (calculei e encontrou-se w_1 negativo). Portanto também não é viável.
  • Par (2,3): agora resolvemos
w_2\mathbf{u}_2 + w_3\mathbf{u}_3 = \mathbf{T}.
Das componentes:
-\tfrac12(w_2+w_3)=T_x \quad\Rightarrow\quad w_2+w_3 = -2T_x,
\tfrac{\sqrt{3}}{2}(w_2-w_3)=T_y \quad\Rightarrow\quad w_2-w_3 = \frac{2T_y}{\sqrt{3}}.
Somando e subtraindo essas duas equações obtemos w_2 e w_3:
w_2 = \tfrac12\big((-2T_x)+\tfrac{2T_y}{\sqrt{3}}\big),\qquad w_3 = \tfrac12\big((-2T_x)-\tfrac{2T_y}{\sqrt{3}}\big).
Substituindo os valores numéricos T_x\approx -390{,}682666\\ \mathrm{N} e T_y\approx -327{,}821681\\ \mathrm{N}:
w_2\approx 201{,}330173\\ \mathrm{N},\qquad w_3\approx 580{,}035159\\ \mathrm{N}.
Ambos são positivos, portanto este par é viável. Como (1,2) e (1,3) falharam por produzir uma massa negativa, o único par viável é (2,3) e, por argumentos geométricos/convexidade, essa solução com apenas w_2 e w_3 não nulos é a que minimiza \sum w_i (e portanto minimiza \sum m_i) sob as restrições físicas m_i\ge 0.

Passo 7

Converter forças w_i em massas m_i e apresentar resultados numéricos finais (com unidades):
  • Como w_i=k m_i, temos
m_i = \frac{w_i}{k}.
Para o par (2,3) com w_2 e w_3 acima e k=1000\pi^2\approx 9869{,}604401\\ \mathrm{N/kg},
m_2 = \frac{201{,}3301729906778}{9869{,}604401089358}\approx 0{,}02040547\\ \mathrm{kg},
m_3 = \frac{580{,}0351589906778}{9869{,}604401089358}\approx 0{,}0587770\\ \mathrm{kg}.
  • E m_1=0 (a massa na primeira pá deve ser zero nessa solução minimizante).
  • É conveniente expressar com arredondamento adequado (por exemplo, três algarismos significativos após a vírgula para medidas em gramas):
m_1 = 0\\ \mathrm{kg},\qquad m_2 \approx 0{,}02041\\ \mathrm{kg},\qquad m_3 \approx 0{,}05878\\ \mathrm{kg}.

Resposta

m_1=0\\ \mathrm{kg}
m_2=0{,}02041\\ \mathrm{kg}
m_3=0{,}05878\\ \mathrm{kg}

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