Um rotor de ventilador possui três pás igualmente espaçadas e raio de 0,15 m. Durante um teste a 3000 RPM, foi identificado um desbalanceamento resultante que gera uma força centrífuga de 510 N , cuja direção está a
acima da primeira pá, medida no sentido anti-horário. Para corrigir o desbalanceamento, admite-se a colocação de massas corretoras nas três pás. Determine as massas que devem ser adicionadas a uma distância de 100 mm do centro do rotor, de modo que o equilíbrio dinâmico seja restabelecido, considerando que se deseja minimizar a massa total adicionada.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente o que calcular:
- Há três pás igualmente espaçadas (ou seja, posições angulares separadas por
). - O raio do rotor é
(informação do rotor). - As massas corretoras serão colocadas a uma distância de
do centro (essa é a posição onde cada massa gera sua força centrífuga). - Durante o teste (velocidade de rotação) a
foi medida uma força de desbalanceamento resultante de . - A direção dessa força está a
acima da primeira pá, medida no sentido anti-horário. Vou tomar a direção da primeira pá como referência angular (eixos: na direção da primeira pá, positivo no sentido anti-horário). Assim a força não corrigida atua no ângulo . - Objetivo: determinar as massas a adicionar nas três pás, colocadas a
, de modo que o equilíbrio dinâmico seja restabelecido e a massa total adicionada seja mínima. - Observação importante: massas fisicamente só podem ser não-negativas (
).
A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (com explicação clara):
- Conversão de velocidade de rotação para velocidade angular: se a rotação é
em RPM, a velocidade angular em rad/s é dada por
Aqui
. Calculando:
- Força centrífuga gerada por uma massa
que gira a velocidade angular à distância :
Explicando as variáveis:
em kg,
em rad/s,
em m;
em N.
- Como as massas corretoras serão colocadas todas na mesma distância
e giram com a mesma , é útil definir a constante
Então a força (magnitude) gerada por uma massa
é simplesmente
. Calculando
:
Isso significa: cada
colocado em
gera cerca de
radialmente.
Passo 3
Representação vetorial da força de desbalanceamento que temos que cancelar:
- A força de desbalanceamento tem magnitude
e ângulo (referido à primeira pá, que tomamos como ). O vetor da força não corrigida é, em componentes:
- Como queremos anular esse desbalanceamento, as forças geradas pelas massas adicionadas devem somar-se vetorialmente a
(o vetor oposto). Vou chamar o vetor alvo que as massas devem produzir:
- Valores numéricos (usei os valores trigonométricos padrão):
, . Portanto
Passo 4
Modelagem das forças produzidas pelas massas adicionadas e equações a resolver:
- Denoto por
as massas adicionadas nas pás em ângulos , respectivamente. Cada massa gera uma força vetorial de magnitude na direção radial da pá. Os vetores unitários nas direções das pás são:
- Logo as forças das massas são
. A condição de equilíbrio (somatório das forças das massas = vetor alvo ) dá, em componentes:
- Dividindo as duas equações por
(pois ) obtemos o sistema linear em :
Para abreviar, defino
com valores numéricos
Passo 5
Análise das soluções e condição de mínimo da massa total:
- Temos duas equações lineares e três incógnitas: há infinitas soluções reais. Contudo fisicamente as massas devem satisfazer
. - O objetivo é minimizar a massa total adicionada
sujeito às duas equações e
. Do ponto de vista geométrico (representando vetores no plano), estamos procurando coeficientes não-negativos
(forças em N nas direções fixas das pás) tais que
e minimizamos
. Portanto minimizar
é equivalente a minimizar
com
.
- Em duas dimensões qualquer vetor pode ser representado por combinação linear de, no máximo, duas direções que formem base para o plano. Assim o mínimo (com coeficientes não-negativos) é alcançado com, no máximo, duas massas não-nulas (porque usar três direções não-colineares e coeficientes não-negativos teria soma de magnitudes maior ou igual à soma em alguma dupla que compõe o mesmo vetor). Na prática, tentamos as representações usando apenas pares de pás e verificamos qual é viável com
. - Vou testar, de forma sistemática, as três possibilidades de pares: (1,2), (1,3) e (2,3). Para cada par resolvo o sistema 2×2 em
-s (onde ) e verifico sinal dos -s.
Passo 6
Tentativa com pares de pás (cálculos detalhados):
Definindo
(força gerada pela massa
, em N). O alvo é
. Os vetores unitários
já dados.
- Par (1,2): resolver
Componentes:
e
. Da segunda
. Como
, isso dá
negativo, portanto não é viável (não se pode ter massa negativa).
- Par (1,3): resolver
Componentes:
e
. Da segunda vem
. Como
é negativo, isso produz
, mas substituindo na primeira fica
que resulta em
(calculei e encontrou-se
negativo). Portanto também não é viável.
- Par (2,3): agora resolvemos
Das componentes:
Somando e subtraindo essas duas equações obtemos
e
:
Substituindo os valores numéricos
e
:
Ambos são positivos, portanto este par é viável. Como (1,2) e (1,3) falharam por produzir uma massa negativa, o único par viável é (2,3) e, por argumentos geométricos/convexidade, essa solução com apenas
e
não nulos é a que minimiza
(e portanto minimiza
) sob as restrições físicas
.
Passo 7
Converter forças
em massas
e apresentar resultados numéricos finais (com unidades):
- Como
, temos
Para o par (2,3) com
e
acima e
,
- E
(a massa na primeira pá deve ser zero nessa solução minimizante). - É conveniente expressar com arredondamento adequado (por exemplo, três algarismos significativos após a vírgula para medidas em gramas):