Um banco está planejando abrir uma nova agência em uma cidade no interior. O departamento de marketing estima que o número de clientes da agência (NC) em função do número de meses decorridos (t) desde a inauguração seguirá a seguinte função exponencial: NC(t)=100x2. Quantos meses completos, após a inauguração, o número estimado de clientes da agência será superior a 2.000?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de funções exponenciais aplicado a um cenário de marketing de um banco que vai abrir uma nova agência. A questão quer descobrir, em quantos meses completos após a inauguração, o número de clientes estimado será maior que 2.000. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e resolver uma inequação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve o número de clientes. A função é dada por:
NC(t) = 100 times 2^t
Aqui, $ NC(t) $ é o número de clientes após $ t $ meses, começando com 100 clientes e dobrando a cada mês.

Passo 3

Queremos saber quando $ NC(t) > 2000 $. Então, montamos a inequação:
NC(t) > 2000

Passo 4

Vamos resolver essa inequação passo a passo. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100 para simplificar:
2^t > 2000100
2^t > 20

Passo 5

Agora, precisamos descobrir para qual valor de $ t $ a expressão $ 2^t $ será maior que 20. Sabemos que $ 2^4 = 16 $ e $ 2^5 = 32 $. Como 16 é menor que 20 e 32 é maior que 20, o menor valor inteiro de $ t $ que satisfaz a inequação é 5.

Resposta

A quantidade de meses completos necessários para que o número estimado de clientes seja superior a 2.000 é 5 meses, ou seja, a opção e) 5.

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