Demonstre que o triângulo de vértices A (8,2), B (3,7) e C (2,1) é isósceles. Em seguida calcule o perímetro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o triângulo formado pelos pontos A (8,2), B (3,7) e C (2,1) é isósceles. Depois, vamos calcular o perímetro desse triângulo. Para isso, vamos usar um conteúdo de Geometria Analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos: A (8,2), B (3,7) e C (2,1). Para saber se o triângulo é isósceles, precisamos verificar se pelo menos dois lados têm o mesmo comprimento.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre cada par de pontos usando a fórmula da distância:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

Passo 4

Calculando a distância entre A e B:
AB = raiz(3 - 8)^2 + (7 - 2)^2 = raiz(-5)^2 + 5^2 = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2 approx 7,07

Passo 5

Calculando a distância entre A e C:
AC = raiz(2 - 8)^2 + (1 - 2)^2 = raiz(-6)^2 + (-1)^2 = raiz36 + 1 = raiz37 approx 6,08

Passo 6

Calculando a distância entre B e C:
BC = raiz(2 - 3)^2 + (1 - 7)^2 = raiz(-1)^2 + (-6)^2 = raiz1 + 36 = raiz37 approx 6,08

Passo 7

Agora, observamos que $ AC $ e $ BC $ são iguais, ambos valendo AC . Isso significa que o triângulo tem dois lados de igual comprimento, caracterizando-o como isósceles.

Passo 8

Para calcular o perímetro, somamos os comprimentos de todos os lados:
Perímetro = AB + AC + BC = 5raiz2 + raiz37 + raiz37 = 5raiz2 + 2raiz37 í
Se preferir a aproximação decimal:
Perímetro approx 7,07 + 6,08 + 6,08 = 19,23 í

Resposta

O triângulo com vértices em A (8,2), B (3,7) e C (2,1) é isósceles porque os lados AC e BC são iguais. O perímetro desse triângulo é 5raiz2 + 2raiz37 ou aproximadamente 19,23 unidades.

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