Um banco possui apenas um caixa de atendimento. Os clientes chegam segundo um processo Poisson com taxa média de 5 clientes por hora ( \lambda=5 ). 0 tempo médio de atendimento é 10 minutos por cliente, ou seja, a taxa de serviço é de 6 clientes por hora (\mu=6).
Sabenao que o sistema é um M/M/1 qual é o tempo médio de espera na fila (Wq) de um cliente?

Fórmulas úteis:

  • Utilização: \rho=\frac{\lambda}{\mu}
  • Tempo médio de espera na fila:
W_{q}=\frac{\rho}{\mu-\lambda}
Escolha uma opção:
a. W q=20 minutos
b. W q=50 minutos
c. W q=60 minutos
d. W q=10 minutos

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o tempo médio de espera na fila de um cliente. Informações fornecidas (pegar tais dados do enunciado):
  • Chegadas seguem um processo Poisson com taxa \lambda=5 clientes por hora.
  • Tempo médio de atendimento por cliente é 10 minutos, portanto a taxa de serviço é \mu=6 clientes por hora (peguei esse valor do enunciado).
  • O enunciado afirma que o sistema é um \mathrm{M/M/1}.
  • Fórmula útil dada: W_{q}=\frac{\rho}{\mu-\lambda}
Onde foi também dada a utilização \rho=\dfrac{\lambda}{\mu}.
O que precisamos responder: calcular W_{q} e escolher a alternativa correta entre:
a. W_q=20 minutos
b. W_q=50 minutos
c. W_q=60 minutos
d. W_q=10 minutos

Passo 2

Entendendo as fórmulas e as variáveis (aula rápida e prática):
  • \lambda é a taxa média de chegadas (clientes por hora). Aqui \lambda=5.
  • \mu é a taxa média de serviço (clientes por hora). Aqui \mu=6.
  • A utilização \rho representa a fração do tempo em que o servidor está ocupado; define-se por \rho=\dfrac{\lambda}{\mu}. É adimensional (número entre 0 e 1 para um sistema estável).
  • A fórmula dada para o tempo médio de espera na fila é W_{q}=\frac{\rho}{\mu-\lambda}.
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: o denominador \mu-\lambda é a “folga” entre a capacidade de atendimento e a demanda; quanto menor essa folga, mais longa a fila. O numerador \rho ajusta esse efeito pela fração de ocupação do servidor.

Passo 3

Calcular a utilização \rho. Usando \rho=\dfrac{\lambda}{\mu}:
\rho=\frac{5}{6}.
Se quiser uma aproximação decimal:
\rho=\frac{5}{6}=0,8\overline{3}\\ (\text{ou }0,833\ldots).

Passo 4

Calcular a diferença \mu-\lambda (mesma unidade: clientes por hora):
\mu-\lambda=6-5=1\\ \text{cliente por hora}.
Interpretação rápida: isso significa que, em média, a capacidade excede a demanda em 1 cliente por hora.

Passo 5

Aplicar a fórmula para W_{q}:
W_{q}=\frac{\rho}{\mu-\lambda}=\frac{\tfrac{5}{6}}{1}=\frac{5}{6}\\ \text{horas}.

Passo 6

Converter o resultado de horas para minutos (multiplicar por 60 minutos/hora):
W_{q}=\frac{5}{6}\times 60 = 5\times 10 = 50\\ \text{minutos}.
Observação: a conta foi \dfrac{5}{6}\cdot 60 = 5\cdot \dfrac{60}{6}=5\cdot 10.

Passo 7

Comparar com as alternativas fornecidas: o valor calculado é 50 minutos, que corresponde exatamente à alternativa (b). Parabéns — apesar do desespero, a conta é direta quando se organiza passo a passo!

Resposta

b. W_{q}=50\\ \text{minutos}

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