(Questão 23 - Seção 3.4 - Magalhães) A densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=\frac{1}{4}\left[1+x y\left(x^{2}-y^{2}\right)\right] \boldsymbol{I}_{(-1,1)}(x) \boldsymbol{I}_{(-1,1)}(y)
(a) Verifique que f(x, y) satisfaz as propriedades de função densidade conjunta.
(b) Calcule P(X>0 \mid Y \leq 0).

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=\frac14\bigl[1 + x\,y\,(x^2 - y^2)\bigr]\mathbf I_{(-1,1)}(x)\,\mathbf I_{(-1,1)}(y)
e pede:
  1. verificar que f é não-negativa e integra 1;
  2. calcular
P(X>0\mid Y\le0) =\frac{P(X>0,Y\le0)}{P(Y\le0)}.

Passo 2

Não-negatividade: para \lvert x\rvert<1 e \lvert y\rvert<1 valem
|x^2 - y^2|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x\,y\,(x^2 - y^2)|<1 \quad\Longrightarrow\quad 1 + x\,y\,(x^2 - y^2)>0,
logo f(x,y)\ge0.
Normalização:
\iint_{\mathbb R^2}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\frac14\,dx\,dy +\frac14\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}x\,y\,(x^2 - y^2)\,dx\,dy.
O primeiro termo vale \tfrac14\cdot2\cdot2=1. O segundo é nulo por ser integral de função ímpar em x (ou em y). Logo
\iint f(x,y)\,dx\,dy = 1.

Passo 3

Marginal de Y:
f_Y(y) =\int_{-1}^{1}f(x,y)\,dx =\int_{-1}^{1}\frac14\,dx +\frac14\,y\int_{-1}^{1}[x(x^2 - y^2)]\,dx =\frac12.
Assim Y\sim\mathrm{Uniform}(-1,1) e
P(Y\le0) =\int_{-1}^{0}f_Y(y)\,dy =\frac12\cdot1=\frac12.

Passo 4

Probabilidade conjunta X>0 e Y\le0:
P(X>0,Y\le0) =\int_{y=-1}^{0}\int_{x=0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy =\frac14\int_{-1}^{0}\int_{0}^{1}1\,dx\,dy = \frac14\cdot1\cdot1 = \frac14,
pois o termo não-constante anula por simetria.

Passo 5

Finalmente,
P(X>0\mid Y\le0) =\frac{P(X>0,Y\le0)}{P(Y\le0)} =\frac{\tfrac14}{\tfrac12} =\frac12.

Resposta

(a) f(x,y)\ge0 em (-1,1)^2 e \iint f=1.
(b) P(X>0\mid Y\le0)=\tfrac12.

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