(Questão 23 - Seção 3.4 - Magalhães) A densidade conjunta de
e
é dada por
(a) Verifique que
satisfaz as propriedades de função densidade conjunta.
(b) Calcule
.
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a densidade conjunta
e pede:
- verificar que
é não-negativa e integra 1; - calcular
Passo 2
Não-negatividade: para
e
valem
logo
.
Normalização:
Normalização:
O primeiro termo vale
. O segundo é nulo por ser integral de função ímpar em
(ou em
). Logo
Passo 3
Marginal de
:
Assim
e
Passo 4
Probabilidade conjunta
e
:
pois o termo não-constante anula por simetria.
Passo 5
Finalmente,
Resposta
(a)
em
e
.
(b) .
(b)