De um baralho de 52 cartas, uma é extraída e observa-se que seu número está entre 4 e 10 (4 e 10 inclusive). Qual a probabilidade de que o número da carta seja 6?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma pergunta clara:
  • Informação: temos um baralho padrão com \,52\, cartas.
  • Informação: foi extraída uma carta e observou-se que o “número” (o valor/rank) da carta está entre \,4\, e \,10\, inclusive. Ou seja, a carta pertence ao conjunto de ranks \{4,5,6,7,8,9,10\}.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que o número da carta seja \,6\,, dado que já sabemos que o número está entre \,4\, e \,10\,?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma coisa prática sobre baralho: cada rank (por exemplo, \,6\,) aparece em cada naipe, logo há exatamente \,4\, cartas de cada rank. Assim:
  • O número total de cartas é \,52\,.
  • O número de cartas cujo rank é \,6\, é \,4\,.
  • O número de cartas com rank entre \,4\, e \,10\, inclusive é: há \,7\, ranks nessa faixa ( \,4,5,6,7,8,9,10\,) e cada rank tem \,4\, cartas, então \,7\times4=28\, cartas.
Isso já dá a contagem de casos possíveis e favoráveis — importante para probabilidade.

Passo 3

Agora a peça teórica que vamos usar (breve e objetiva): probabilidade condicional. Quando queremos a probabilidade de um evento A sabendo que outro evento B ocorreu, usamos
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui:
  • P(A\mid B) é a probabilidade de A condicional a B.
  • P(A\cap B) é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem juntos.
  • P(B) é a probabilidade do evento condicional (o que já sabemos).
No nosso problema vamos definir A e B claramente no próximo passo.

Passo 4

Definição dos eventos para aplicar a fórmula:
  • Seja A o evento "a carta é \,6\,".
  • Seja B o evento “o número da carta está entre \,4\, e \,10\, inclusive”.
Repare que se a carta é \,6\, então automaticamente seu rank está entre \,4\, e \,10\,. Ou seja, A\subseteq B, portanto
A\cap B = A.
Logo P(A\cap B)=P(A).

Passo 5

Calcule P(A) e P(B) por contagem de cartas (modelo de equiprobabilidade: todas as cartas igualmente prováveis):
  • P(A)=\dfrac{\text{número de cartas com rank }6}{\text{total de cartas}}=\dfrac{4}{52}.ú
  • P(B)=\dfrac{\text{número de cartas com rank entre }4\text{ e }10}{\text{total de cartas}}=\dfrac{28}{52}.ú

Passo 6

Agora aplique a fórmula da probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{\dfrac{4}{52}}{\dfrac{28}{52}}.
Cancele o denominador comum \dfrac{1}{52}:
P(A\mid B)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}.

Passo 7

Interpretação intuitiva (útil na prova): saber que a carta tem rank entre \,4\, e \,10\, reduz o espaço amostral para as \,28\, cartas dessa faixa. Dessas \,28\,, exatamente \,4\, são \,6. Logo a probabilidade é \,4/28=1/7\,. Dica para a prova: quando tiver informação adicional que restringe possibilidades, conte o novo espaço amostral e os casos favoráveis — é a maneira mais rápida na maioria das questões.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{7}

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