- (Fuvest)
Seja
a função que associa, a cada número real
menor dos números
. Assim, o valor máximo de
é:
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 7
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 7
Passo 1
O enunciado diz: a função
associa, a cada número real
, o menor dos números
e
. Pergunta: qual é o valor máximo de
?\n
Informações dadas:
Para cada
,
\n
Precisamos encontrar o maior valor possível de
quando
varia por todos os reais.\n
Informações dadas:
Passo 2
Entendendo o que significa “
” (o menor entre
e
).\n
Se temos duas funções lineares e
, então para cada
nós comparamos os dois números
e
e escolhemos o menor deles. Geometricamente,
é o ponto mais baixo entre os dois gráficos
e
para cada abscissa
.\n
Uma forma prática é dividir a reta real em regiões onde um dos dois é o menor e escrever de forma peça a peça (piecewise).
Se temos duas funções lineares
Uma forma prática é dividir a reta real em regiões onde um dos dois é o menor e escrever
Passo 3
Encontrar onde
(ou seja, onde
é o menor) e onde
(onde
é o menor).\n
Resolver a desigualdade
Resolver a desigualdade
Passos:
Portanto, para
temos
.\n
O complemento é , onde
.
O complemento é
Passo 4
Escrever
Observe que em
e
.]
Passo 5
Analisar o comportamento de cada ramo para localizar o máximo de
.\n
Ramo esquerdo ( ): a função é
. É uma reta com coeficiente angular
, ou seja, cresce quando
aumenta. Então, sobre o intervalo
,
atinge o seu maior valor na borda direita
.\n
Ramo direito ( ): a função é
. É uma reta com coeficiente angular
, ou seja, decresce quando
aumenta. Então, sobre o intervalo
,
atinge o seu maior valor na borda esquerda
.\n
Assim, ambos os ramos atingem o seu valor máximo local exatamente em .
Ramo esquerdo (
Ramo direito (
Assim, ambos os ramos atingem o seu valor máximo local exatamente em
Passo 6
Conferir o valor em
(ponto de interseção dos ramos):
ou, de forma equivalente,
Como para
um dos ramos tende a
(especificamente
) e para
o outro ramo tende a
(especificamente
), não existe valor maior que
. Portanto
é de fato o máximo global de
.
Resposta
C) 4