1. (Fuvest)
Seja f a função que associa, a cada número real x, \circ menor dos números x+3 \mathrm{e}-x+5. Assim, o valor máximo de f(x) é:
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 7

Passo 1

O enunciado diz: a função f associa, a cada número real x, o menor dos números x+3 e -x+5. Pergunta: qual é o valor máximo de f(x)?\n
Informações dadas:
\;1. Para cada x\in\mathbb{R}, f(x)=\min\{\,x+3,\;-x+5\,\}.\n
\;2. Precisamos encontrar o maior valor possível de f(x) quando x varia por todos os reais.\n

Passo 2

Entendendo o que significa “ \min\{a,b\}” (o menor entre a e b).\n
Se temos duas funções lineares g(x)=x+3 e h(x)=-x+5, então para cada x nós comparamos os dois números g(x) e h(x) e escolhemos o menor deles. Geometricamente, f(x) é o ponto mais baixo entre os dois gráficos y=g(x) e y=h(x) para cada abscissa x.\n
Uma forma prática é dividir a reta real em regiões onde um dos dois é o menor e escrever f de forma peça a peça (piecewise).

Passo 3

Encontrar onde x+3 \le -x+5 (ou seja, onde x+3 é o menor) e onde x+3 \ge -x+5 (onde -x+5 é o menor).\n
Resolver a desigualdade
x+3 \le -x+5.
Passos:
x+3 \le -x+5 \iff x + x \le 5-3 \iff 2x \le 2 \iff x \le 1.
Portanto, para \;x \le 1 temos x+3 \le -x+5.\n
O complemento é \;x \ge 1, onde x+3 \ge -x+5.

Passo 4

Escrever f\) explicitamente em forma peça a peça, usando o resultado do passo anterior: \[f(x)=\min\{x+3,\,-x+5\}= \begin{cases} x+3, & \text{se } x\le 1,\\[4pt] -x+5, & \text{se } x\ge 1. \end{cases}
Observe que em x=1\] os dois ramos coincidem, pois \(1+3=4 e -1+5=4.]

Passo 5

Analisar o comportamento de cada ramo para localizar o máximo de f.\n
Ramo esquerdo ( x\le 1): a função é x+3. É uma reta com coeficiente angular 1, ou seja, cresce quando x aumenta. Então, sobre o intervalo (-\infty,1], x+3 atinge o seu maior valor na borda direita x=1.\n
Ramo direito ( x\ge 1): a função é -x+5. É uma reta com coeficiente angular -1, ou seja, decresce quando x aumenta. Então, sobre o intervalo [1,\infty), -x+5 atinge o seu maior valor na borda esquerda x=1.\n
Assim, ambos os ramos atingem o seu valor máximo local exatamente em x=1.

Passo 6

Conferir o valor em x=1 (ponto de interseção dos ramos):
f(1)=1+3=4
ou, de forma equivalente,
f(1)=-1+5=4.
Como para x\to -\infty um dos ramos tende a -\infty (especificamente x+3\to -\infty) e para x\to +\infty o outro ramo tende a -\infty (especificamente -x+5\to -\infty), não existe valor maior que 4. Portanto 4 é de fato o máximo global de f.

Resposta

C) 4

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