De um total de 100 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e Química, sabe-se que:
  1. 30 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino.
    II. O total de alunos do sexo masculino é 50 , dos quais 10 destinam-se à Química.
    III. Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química.
    Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo feminino, qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática?

Passo 1

O enunciado pede: “sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo feminino, qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática?” Portanto precisamos calcular a probabilidade condicional \Pr(\text{Mat} \mid \text{fem}).\n\nInformações dadas (vou listar exatamente os números do enunciado, todos em forma matemática):\n- Total de alunos: 100.\n- Destinam-se à Matemática: 30, dos quais 20 são do sexo masculino (ou seja, há 20 homens entre os 30 de Matemática).\n- Total de alunos do sexo masculino: 50, dos quais 10 destinam-se à Química.\n- Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química (ou seja, 10 mulheres em Química).\n\nNão vou resolver nada ainda; apenas organizei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Transformar as informações em contagens úteis. Primeiro, interpreto claramente cada evento:\n- \text{Mat}: aluno destinado à Matemática.\n- \text{Qui}: aluno destinado à Química.\n- \text{Fís}í: aluno destinado à Física.\n- \text{masc}: aluno do sexo masculino.\n- \text{fem}: aluno do sexo feminino.\n\nDas informações: \#\text{Mat}=30 e entre eles \#(\text{Mat}\cap\text{masc})=20. Logo o número de mulheres em Matemática é\n \#(\text{Mat}\cap\text{fem})=\#\text{Mat}-\#(\text{Mat}\cap\text{masc})=30-20.

Passo 3

Calcular \#(\text{Mat}\cap\text{fem}) explicitamente:\n \#(\text{Mat}\cap\text{fem})=30-20=10.
Ou seja, há 10 mulheres que se destinam a Matemática.

Passo 4

Usar as informações sobre Química e totais para verificar consistência e obter total de mulheres.\nDo enunciado: \#\text{masc}=50 e entre eles \#(\text{Qui}\cap\text{masc})=10. Também foi dado que \#(\text{Qui}\cap\text{fem})=10.\n\nLogo o total de alunos em Química é\n \#\text{Qui}=\#(\text{Qui}\cap\text{masc})+\#(\text{Qui}\cap\text{fem})=10+10=20.
O total de homens já é \#\text{masc}=50, então o total de mulheres é
\#\text{fem}=100-\#\text{masc}=100-50=50.
Vou checar rapidamente que as contagens por curso fecham: já temos \#\text{Mat}=30, \#\text{Qui}=20, portanto \#\text{Fís}=100-30-20=50í. Tudo consistente.

Passo 5

Explicar a fórmula de probabilidade condicional e aplicá-la: a probabilidade de ser de Matemática sabendo que a pessoa é mulher é por definição
\Pr(\text{Mat}\mid\text{fem})=\frac{\Pr(\text{Mat}\cap\text{fem})}{\Pr(\text{fem})}.
Quando trabalhamos com contagens em um universo finito equiprovável (aqui sorteio aleatório de 100 alunos), podemos trocar probabilidades por proporções de contagens:
\Pr(\text{Mat}\mid\text{fem})=\frac{\#(\text{Mat}\cap\text{fem})}{\#\text{fem}}.
Substituindo os números que encontramos:
\Pr(\text{Mat}\mid\text{fem})=\frac{10}{50}.

Passo 6

Fazer a simplificação e interpretar o resultado de maneira intuitiva:\n \frac{10}{50}=\frac{1}{5}=0{,}2,
ou seja, 20\%. Interpretação simples: entre as \,50 mulheres do grupo, 10 são de Matemática, logo a chance de uma mulher escolhida ao acaso ser de Matemática é 10 em 50, isto é 1 em 5.\n\nVocê fez bem em organizar os dados antes de aplicar a fórmula: quando as informações vêm em pedaços (algumas por curso, outras por sexo) é sempre útil montar essas contagens primeiro — assim evita erro na prova. Força aí, tá indo bem!

Resposta

\dfrac{1}{5}=20\%

Exercícios relacionados