De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informação: há um baralho com 52 cartas.
  • Informação: são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição (ou seja, nenhuma carta volta ao baralho).
  • Pergunta: qual é o número de resultados possíveis considerando que a ordem das cartas extraídas NÃO importa (ou seja, dois resultados que contenham as mesmas quatro cartas, em ordens diferentes, contam como o mesmo resultado)?

Passo 2

Entendendo o que o problema quer — em palavras simples:
  • Se a ordem importasse, cada sequência distinta de 4 cartas seria um resultado diferente.
  • Como a ordem NÃO importa, só importa quais 4 cartas foram tiradas, não a sequência em que saíram.
    Portanto estamos contando subconjuntos de tamanho 4 de um conjunto de 52 elementos: isto é exatamente um problema de combinação (escolhas sem ordem).

Passo 3

Fórmula que vamos usar (explicada devagar):
  • A quantidade de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, quando a ordem não importa, chama-se coeficiente binomial e é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! (lê‑se “ n fatorial”) significa n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1. A razão pela qual dividimos por k! é que, para cada conjunto de k elementos, existem k! permutações (ordenações) diferentes que representariam a mesma escolha quando a ordem não importa.
Aplicando ao nosso caso: n=52 e k=4. Então o número procurado é
\binom{52}{4}=\frac{52!}{4!\,48!}.

Passo 4

Simplificando a expressão para calcular sem usar uma calculadora:
\binom{52}{4}=\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Expliquei: cancelamos os fatores de 48! com parte de 52!, sobrando só os quatro primeiros fatores no numerador.

Passo 5

Fazendo cancelamentos inteligentes para facilitar a conta manual:
  • Divida 52 por 4: 52\div4=13.
  • Divida 51 por 3: 51\div3=17.
  • Divida 50 por 2: 50\div2=25.
  • O 1 deixa 49 como está.
Depois dos cancelamentos obtemos
\binom{52}{4}=13\cdot17\cdot25\cdot49.

Passo 6

Multiplicando passo a passo (com conta que dá para fazer à mão):
  • Primeiro 13\cdot17=221.
  • Depois 25\cdot49. Note que 25\cdot49=25\cdot(50-1)=1250-25=1225.
  • Agora 221\cdot1225. Faço em duas parcelas: 221\cdot1000=221000 e 221\cdot225=221\cdot(200+25)=44200+5525=49725.
  • Somando: 221000+49725=270725.

Resposta

270725

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