De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Informação: há um baralho com
cartas. - Informação: são extraídas
cartas sucessivamente e sem reposição (ou seja, nenhuma carta volta ao baralho). - Pergunta: qual é o número de resultados possíveis considerando que a ordem das cartas extraídas NÃO importa (ou seja, dois resultados que contenham as mesmas quatro cartas, em ordens diferentes, contam como o mesmo resultado)?
Passo 2
Entendendo o que o problema quer — em palavras simples:
- Se a ordem importasse, cada sequência distinta de 4 cartas seria um resultado diferente.
- Como a ordem NÃO importa, só importa quais 4 cartas foram tiradas, não a sequência em que saíram.
Portanto estamos contando subconjuntos de tamanhode um conjunto de elementos: isto é exatamente um problema de combinação (escolhas sem ordem).
Passo 3
Fórmula que vamos usar (explicada devagar):
- A quantidade de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com elementos, quando a ordem não importa, chama-se coeficiente binomial e é dada por
Aqui
(lê‑se “
fatorial”) significa
. A razão pela qual dividimos por
é que, para cada conjunto de
elementos, existem
permutações (ordenações) diferentes que representariam a mesma escolha quando a ordem não importa.
Aplicando ao nosso caso:
e
. Então o número procurado é
Passo 4
Simplificando a expressão para calcular sem usar uma calculadora:
Expliquei: cancelamos os fatores de
com parte de
, sobrando só os quatro primeiros fatores no numerador.
Passo 5
Fazendo cancelamentos inteligentes para facilitar a conta manual:
- Divida
por : . - Divida
por : . - Divida
por : . - O
deixa como está.
Depois dos cancelamentos obtemos
Passo 6
Multiplicando passo a passo (com conta que dá para fazer à mão):
- Primeiro
. - Depois
. Note que . - Agora
. Faço em duas parcelas: e . - Somando:
.