Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Passo 1

O enunciado diz que a prova tem 15 questões e o aluno deve resolver 10 delas. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes o aluno pode escolher quais 10 questões vai resolver?
Informações relevantes:
  • Total de questões disponíveis: 15.
  • Número de questões a escolher: 10.
  • A ordem em que o aluno escolhe as questões não importa (escolher a questão A e depois B é a mesma escolha que escolher B e depois A).

Passo 2

Vamos entender a ideia combinatória por trás do problema (passo-a-passo, sem pressa). Quando a ordem não importa, estamos lidando com combinações: escolhemos um subconjunto de tamanho k dentro de um conjunto de tamanho n. Aqui n=15 e k=10. A quantidade de subconjuntos diferentes de tamanho k é dada pelo coeficiente binomial, também chamado de combinação de n elementos tomados de k em k.

Passo 3

Apresento a fórmula da combinação e explico cada parte:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
O que significa cada símbolo?
  • n! (lê-se “n fatorial”) é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n: n!=n\cdot(n-1)\cdot\dotsm\cdot2\cdot1.
  • k! é o fatorial de k.
  • (n-k)! é o fatorial de n-k.
    A razão desta fórmula vem de contar todas as permutações e dividir pelas formas de reordenar dentro das escolhas (mas não vamos entrar nessa derivação agora; o importante é saber usar a fórmula).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com n=15 e k=10:
\binom{15}{10}=\frac{15!}{10!\,5!}.
Uma observação útil (simetria das combinações) é que
\binom{15}{10}=\binom{15}{5},
porque escolher 10 questões para resolver é equivalente a escolher as 5 que serão deixadas de lado. Calcular \binom{15}{5} costuma ser mais simples do que trabalhar com 15! diretamente, pois envolve um produto menor no numerador.

Passo 5

Calculemos \binom{15}{5} de forma prática, evitando escrever fatorias gigantes. Usamos a fórmula equivalente
\binom{15}{5}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificamos dividindo termos do numerador pelos termos do denominador passo a passo, para facilitar contas sem calculadora:
  • Dividindo 15 por 5 3. Agora os fatores do numerador são 3,14,13,12,11.
  • Dividindo 14 por 2 7. Agora: 3,7,13,12,11.
  • Dividindo 12 por 4 3. Agora: 3,7,13,3,11.
  • Dividindo um dos 3 por 3 (o denominador 3) dá 1. Agora: 1,7,13,3,11.
    (O denominador 1 não altera nada.)

Passo 6

Multiplicamos os fatores restantes do numerador simplificado:
1\cdot7\cdot13\cdot3\cdot11.
Fazendo em etapas para não se perder: 7\cdot13=91. Depois 91\cdot3=273. Finalmente 273\cdot11=3003.

Resposta

3003

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