Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Passo 1
O enunciado diz que a prova tem
questões e o aluno deve resolver
delas. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes o aluno pode escolher quais
questões vai resolver?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Total de questões disponíveis:
. - Número de questões a escolher:
. - A ordem em que o aluno escolhe as questões não importa (escolher a questão A e depois B é a mesma escolha que escolher B e depois A).
Passo 2
Vamos entender a ideia combinatória por trás do problema (passo-a-passo, sem pressa). Quando a ordem não importa, estamos lidando com combinações: escolhemos um subconjunto de tamanho
dentro de um conjunto de tamanho
. Aqui
e
. A quantidade de subconjuntos diferentes de tamanho
é dada pelo coeficiente binomial, também chamado de combinação de
elementos tomados de
em
.
Passo 3
Apresento a fórmula da combinação e explico cada parte:
O que significa cada símbolo?
-
(lê-se “n fatorial”) é o produto de todos os inteiros positivos de até : . -
é o fatorial de . -
é o fatorial de .
A razão desta fórmula vem de contar todas as permutações e dividir pelas formas de reordenar dentro das escolhas (mas não vamos entrar nessa derivação agora; o importante é saber usar a fórmula).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
e
:
Uma observação útil (simetria das combinações) é que
porque escolher
questões para resolver é equivalente a escolher as
que serão deixadas de lado. Calcular
costuma ser mais simples do que trabalhar com
diretamente, pois envolve um produto menor no numerador.
Passo 5
Calculemos
de forma prática, evitando escrever fatorias gigantes. Usamos a fórmula equivalente
Agora simplificamos dividindo termos do numerador pelos termos do denominador passo a passo, para facilitar contas sem calculadora:
- Dividindo
por dá . Agora os fatores do numerador são . - Dividindo
por dá . Agora: . - Dividindo
por dá . Agora: . - Dividindo um dos
por (o denominador ) dá . Agora: .
(O denominadornão altera nada.)
Passo 6
Multiplicamos os fatores restantes do numerador simplificado:
Fazendo em etapas para não se perder:
. Depois
. Finalmente
.