Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoante?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas (ou seja, permutações das letras) da palavra PASTEL começam e terminam por consoante. Informações dadas e extraídas do enunciado:
  • A palavra é “PASTEL”, composta por 6 letras.
  • As letras são todas distintas: P,A,S,T,E,L.
  • Consoantes presentes: P,S,T,L (total de 4 consoantes).
  • Vogais presentes: A,E (total de 2 vogais).
    O objetivo final é o número de arranjos das 6 letras tais que a primeira e a última posição sejam ocupadas por consoantes.

Passo 2

Ideia do método (explicada sem assumir conhecimento prévio): vamos construir um anagrama escolhendo a letra da primeira posição, depois a da última posição, e depois preenchendo as posições do meio. Usamos o Princípio Fundamental da Contagem: se uma etapa pode ser feita de m maneiras e outra independente de n maneiras, então as duas etapas em sequência podem ser feitas de m\cdot n maneiras. Aplicaremos esse princípio várias vezes.
Também usaremos o conceito de fatorial: para um inteiro k\ge1, o fatorial k! é o produto k!=(k)(k-1)(k-2)\cdots1. Ele conta o número de maneiras de ordenar k objetos distintos em uma fila.

Passo 3

Escolher a letra da primeira posição (deve ser consoante): há 4 consoantes ( P,S,T,L), portanto existem 4 opções para a primeira posição.
Em notação: número de escolhas para a primeira posição =4.

Passo 4

Escolher a letra da última posição (também deve ser consoante): após escolher a primeira consoante, restam 3 consoantes disponíveis (porque as letras são todas distintas e não repetimos). Logo, existem 3 opções para a última posição.
Em notação: número de escolhas para a última posição dado o primeiro escolha =3.

Passo 5

Preencher as 4 posições do meio (posições 2, 3, 4 e 5): após fixar as consoantes nas extremidades, sobraram 4 letras distintas (essas são as 2 vogais A,E mais as 2 consoantes que não foram usadas nas extremidades). O número de maneiras de ordenar essas 4 letras nas 4 posições do meio é 4!.
Explicando 4!:
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.

Passo 6

Agora aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem multiplicando as escolhas independentes:
  • 4 opções para a primeira posição,
  • 3 opções para a última posição,
  • 4! opções para as posições do meio.
    Portanto o total é
4 \cdot 3 \cdot 4!.

Passo 7

Calculando numericamente:
4\cdot3\cdot4! = 4\cdot3\cdot24 = 12\cdot24 = 288.
Como verificação alternativa curta: escolher um par ordenado de consoantes para as extremidades é uma permutação P(4,2)=4\cdot3 e ordenar o restante é 4!; produto dá o mesmo resultado.

Resposta

288

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