Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoante?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas (ou seja, permutações das letras) da palavra PASTEL começam e terminam por consoante. Informações dadas e extraídas do enunciado:
- A palavra é “PASTEL”, composta por 6 letras.
- As letras são todas distintas:
. - Consoantes presentes:
(total de consoantes). - Vogais presentes:
(total de vogais).
O objetivo final é o número de arranjos dasletras tais que a primeira e a última posição sejam ocupadas por consoantes.
Passo 2
Ideia do método (explicada sem assumir conhecimento prévio): vamos construir um anagrama escolhendo a letra da primeira posição, depois a da última posição, e depois preenchendo as posições do meio. Usamos o Princípio Fundamental da Contagem: se uma etapa pode ser feita de
maneiras e outra independente de
maneiras, então as duas etapas em sequência podem ser feitas de
maneiras. Aplicaremos esse princípio várias vezes.
Também usaremos o conceito de fatorial: para um inteiro
, o fatorial
é o produto
. Ele conta o número de maneiras de ordenar
objetos distintos em uma fila.
Passo 3
Escolher a letra da primeira posição (deve ser consoante): há
consoantes (
), portanto existem
opções para a primeira posição.
Em notação: número de escolhas para a primeira posição .
Em notação: número de escolhas para a primeira posição
Passo 4
Escolher a letra da última posição (também deve ser consoante): após escolher a primeira consoante, restam
consoantes disponíveis (porque as letras são todas distintas e não repetimos). Logo, existem
opções para a última posição.
Em notação: número de escolhas para a última posição dado o primeiro escolha .
Em notação: número de escolhas para a última posição dado o primeiro escolha
Passo 5
Preencher as
posições do meio (posições 2, 3, 4 e 5): após fixar as consoantes nas extremidades, sobraram
letras distintas (essas são as
vogais
mais as
consoantes que não foram usadas nas extremidades). O número de maneiras de ordenar essas
letras nas
posições do meio é
.
Explicando :
Explicando
Passo 6
Agora aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem multiplicando as escolhas independentes:
-
opções para a primeira posição, -
opções para a última posição, -
opções para as posições do meio.
Portanto o total é
Passo 7
Calculando numericamente:
Como verificação alternativa curta: escolher um par ordenado de consoantes para as extremidades é uma permutação
e ordenar o restante é
; produto dá o mesmo resultado.