- De um baralho comum, de 52 cartas, sacam-se sucessivamente, e sem reposição 2 cartas. De quantos modos isso pode ser feito, se a primeira carta deve ser de Copas e a segunda não deve ser u Rei?
Passo 1
O enunciado pede: contar de quantos modos se pode sacar, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho de
cartas, sob as restrições: (1) a primeira carta deve ser de Copas; (2) a segunda carta não deve ser um Rei. Informações relevantes dadas: o baralho tem
cartas; há
cartas de Copas; há
Reis no baralho; a extração é sem reposição (a primeira carta não volta ao baralho antes da segunda).
Passo 2
Vamos usar a regra do produto para contagens sequenciais: se uma escolha pode ser feita de
maneiras e, após essa escolha, uma segunda pode ser feita de
maneiras dependentes da primeira, então o número de sequências de duas escolhas é
. Aqui as possibilidades para a segunda dependem de qual carta de Copas saiu na primeira, por isso precisamos separar casos.
Passo 3
Contagem das possibilidades para a primeira carta: como a primeira deve ser de Copas, o número de escolhas para a primeira carta é
(todas as
cartas de Copas).
Passo 4
Explicação do porquê dos casos: entre as
Copas existe exatamente um Rei (o Rei de Copas). Se a primeira carta for esse Rei de Copas, o número de Reis restantes no baralho após a retirada é
. Se a primeira carta for uma Copas que não é Rei, os
Reis ainda permanecem no restante do baralho. Assim, o número de cartas que não são Reis disponíveis para a segunda retirada difere conforme o caso. Vamos tratar dois casos separados.
Passo 5
Caso A — primeira carta é o Rei de Copas: número de escolhas para a primeira carta é
. Após essa retirada há
cartas no baralho. Como já foi retirado um Rei, restam
Reis, então o número de cartas que não são Reis é
. Pelo princípio multiplicativo, o número de sequências nesse caso é
Passo 6
Caso B — primeira carta é uma Copas que não é Rei: existem
cartas de Copas que não são o Rei de Copas. Após retirar uma dessas, ficam
cartas, e ainda existem os
Reis no baralho. Assim o número de cartas que não são Reis para a segunda retirada é
. Pelo princípio multiplicativo, o número de sequências nesse caso é
Agora calculemos essa multiplicação passo a passo:
e
, somando
. Logo
Passo 7
Somamos os resultados dos dois casos para obter o total de sequências válidas:
Fiz uma checagem rápida: o total é menor que
(que seria o número de sequências com primeira Copas e segunda qualquer), o que faz sentido porque estamos excluindo sequências cuja segunda é um Rei.