Determine o termo independente de
no desenvolvimento de
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede: determinar o termo independente de
no seu desenvolvimento. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão a ser desenvolvida é um binômio elevado a
. - O binômio é formado por
e - Queremos o termo cuja parte em
seja (ou seja, o termo constante, sem ).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do Teorema do Binômio (explicando passo a passo).
A fórmula do binômio diz que, para quaisquer números ,
e inteiro
,
A fórmula do binômio diz que, para quaisquer números
Aqui
é o coeficiente binomial e significa
onde
(fatorial de
) é o produto
.
Interpretação prática: o termo geral da soma é obtido escolhendo quantas vezes ( vezes) usamos o segundo somando
, e o restante
vezes usamos
. Cada termo tem o fator combinatório
e os fatores
.
Interpretação prática: o termo geral da soma é obtido escolhendo quantas vezes (
Passo 3
Aplique o binômio à nossa expressão identificando
,
e
:
Pelo Teorema do Binômio, o termo geral (para um dado
, com
) é
Agora vamos simplificar a potência de
nesse termo. Primeiro, use as regras de potência:
Multiplicando as partes relativas a
, obtemos a potência total de
:
Portanto, o termo geral do desenvolvimento é
Passo 4
Queremos o termo independente de
, isto é, o termo em que a potência de
seja
. Então imponha
Agora resolvemos essa equação para
:
Verificamos que
está no intervalo permitido
, portanto é uma solução válida.
Passo 5
Agora calcule o coeficiente associado a
. Pelo termo geral, o coeficiente (sem a potência de
) é
Vamos calcular
. Usamos a identidade
(porque
) e calculamos:
Calcule passo a passo:
Além disso,
porque a potência é par. Assim o coeficiente do termo independente é
.
Passo 6
Concluímos que o termo que não depende de
(o termo constante) no desenvolvimento é exatamente o número
. (O fator
confirma que esse termo é constante.)