Determine o termo independente de x no desenvolvimento de
\left(x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\left(x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right)^{10}
e pede: determinar o termo independente de x no seu desenvolvimento. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão a ser desenvolvida é um binômio elevado a 10.
  • O binômio é formado por \,x^{3}\, e -\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Queremos o termo cuja parte em x seja x^{0} (ou seja, o termo constante, sem x).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do Teorema do Binômio (explicando passo a passo).
A fórmula do binômio diz que, para quaisquer números a, b e inteiro n\ge 0,
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial e significa
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto n\cdot(n-1)\cdots1.
Interpretação prática: o termo geral da soma é obtido escolhendo quantas vezes ( k vezes) usamos o segundo somando b, e o restante n-k vezes usamos a. Cada termo tem o fator combinatório \binom{n}{k} e os fatores a^{n-k}b^{k}.

Passo 3

Aplique o binômio à nossa expressão identificando a, b e n:
a = x^{3},\qquad b = -\frac{1}{x^{2}},\qquad n=10.
Pelo Teorema do Binômio, o termo geral (para um dado k, com 0\le k\le 10) é
\binom{10}{k}\left(x^{3}\right)^{\,10-k}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)^{k}.
Agora vamos simplificar a potência de x nesse termo. Primeiro, use as regras de potência:
\left(x^{3}\right)^{\,10-k}=x^{3(10-k)}=x^{30-3k},
\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)^{k}=(-1)^{k}\cdot\frac{1}{x^{2k}} = (-1)^{k}x^{-2k}.
Multiplicando as partes relativas a x, obtemos a potência total de x:
x^{30-3k}\cdot x^{-2k} = x^{30-3k-2k}=x^{30-5k}.
Portanto, o termo geral do desenvolvimento é
\binom{10}{k}(-1)^{k}x^{30-5k}.

Passo 4

Queremos o termo independente de x, isto é, o termo em que a potência de x seja 0. Então imponha
30-5k=0.
Agora resolvemos essa equação para k:
30-5k=0 \quad\Rightarrow\quad 5k=30 \quad\Rightarrow\quad k=6.
Verificamos que k=6 está no intervalo permitido 0\le k\le 10, portanto é uma solução válida.

Passo 5

Agora calcule o coeficiente associado a k=6. Pelo termo geral, o coeficiente (sem a potência de x) é
\binom{10}{6}(-1)^{6}.
Vamos calcular \binom{10}{6}. Usamos a identidade \binom{10}{6}=\binom{10}{4} (porque \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}) e calculamos:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calcule passo a passo:
10\cdot9\cdot8\cdot7 = 5040,
4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24,
\frac{5040}{24}=210.
Além disso, (-1)^{6}=1 porque a potência é par. Assim o coeficiente do termo independente é 210.

Passo 6

Concluímos que o termo que não depende de x (o termo constante) no desenvolvimento é exatamente o número 210. (O fator x^{30-5\cdot6}=x^{0}=1 confirma que esse termo é constante.)

Resposta

210

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