1. De quantos modos podemos colocar 8 Torres iguais em um tabuleiro 8 \times 8, de modo que não haja duas Torres na mesma linha ou na mesma coluna? E se as Torres fossem diferentes?

Passo 1

O enunciado pede duas contagens sobre colocar 8 torres num tabuleiro 8\times8 com a condição de que não haja duas torres na mesma linha nem na mesma coluna. As informações relevantes são:
  • O tabuleiro tem 8 linhas e 8 colunas.
  • Colocamos exatamente 8 torres.
  • A condição “não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna” implica que cada torre ocupa uma linha distinta e uma coluna distinta. Como há 8 torres e 8 linhas, não podem sobrar linhas sem torre (cada torre ocupa uma linha distinta), então há exatamente uma torre em cada linha; o mesmo vale para as colunas.
    As duas questões separadas são:
  1. Quantos modos se isso for feito com torres idênticas (indistinguíveis)?
  2. Quantos modos se as torres forem todas diferentes (distinguíveis, rotuladas)?

Passo 2

Entendendo o problema com um exemplo menor (didático): num tabuleiro 3\times3 com 3 torres sem duas na mesma linha/coluna, a configuração é dada por escolher, para cada linha, em qual coluna a torre ficará. Para 3 linhas as escolhas possíveis por linha (sem repetir colunas) são 3\cdot2\cdot1=3!, e listando você vê que há 6 arranjos. Isso ajuda a visualizar: cada arranjo corresponde a uma permutação das colunas quando indexamos as linhas de 1 a 3.
Agora generalizamos para 8\times8. Podemos indexar as linhas por 1,2,\dots,8. Para cada linha i escolhemos uma coluna c_i tal que todas as c_i sejam distintas. Assim um arranjo é exatamente uma função bijetora das linhas para as colunas, ou seja, uma permutação de 8 elementos.
Definição útil: o fatorial n! é o produto dos inteiros de 1 até n:
n! = 1\cdot2\cdot3\cdots n.
Ele conta o número de permutações de n objetos distintos.

Passo 3

Contagem quando as torres são idênticas (indistinguíveis):
  • Cada configuração válida corresponde a uma permutação das colunas atribuída às 8 linhas.
  • O número de permutações de 8 elementos é \,8!\,.
    Vamos calcular \,8!\, passo a passo (sem pular etapas):
\begin{aligned} 1! &= 1,\\\\ 2! &= 1\cdot2 = 2,\\\\ 3! &= 2\cdot3 = 6,\\\\ 4! &= 6\cdot4 = 24,\\\\ 5! &= 24\cdot5 = 120,\\\\ 6! &= 120\cdot6 = 720,\\\\ 7! &= 720\cdot7 = 5040,\\\\ 8! &= 5040\cdot8 = 40320. \end{aligned}
Portanto, se as torres são idênticas, existem \,8! = 40320\, modos.

Passo 4

Contagem quando as torres são diferentes (distinguíveis):
  • Primeiro escolher as 8 casas (uma por linha e por coluna) corresponde a escolher uma permutação das colunas: \,8!\, escolhas.
  • Depois, como as torres são distintas, para cada escolha de 8 casas distintas devemos atribuir qual torre vai para qual casa. Isso é uma permutação das 8 torres entre as 8 casas, ou seja, mais um fator de \,8!\,.
  • Pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos os fatores: total =8!\times 8! = (8!)^2.
Calculemos numericamente:
(8!)^2 = 40320^2.
Uma forma prática de calcular é decompor:
40320^2 = 40320\cdot(40000+320)=40320\cdot40000+40320\cdot320.
Agora:
40320\cdot40000=1\,612\,800\,000,
40320\cdot320=12\,902\,400,
somando:
40320^2 = 1\,612\,800\,000 + 12\,902\,400 = 1\,625\,702\,400.
Logo, se as torres forem diferentes, existem (8!)^2 = 1\,625\,702\,400 modos.

Passo 5

Resumo da lógica para memorizar e usar na prova:
  • Com n linhas e n colunas e n torres sem repetir linha/coluna, cada arranjo corresponde a uma permutação das colunas → n! para peças idênticas.
  • Se as peças forem distintas, multiplica-se por n! novamente para atribuir rótulos às n posições → (n!)^2.
  • Aqui n=8, então as respostas são \,8!\, e (8!)^2. Força aí — esse padrão aparece muito em problemas do tipo “uma em cada linha/coluna”!

Resposta

Torres idênticas: 40320
Torres diferentes: 1625702400

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