- De quantos modos podemos colocar 8 Torres iguais em um tabuleiro
, de modo que não haja duas Torres na mesma linha ou na mesma coluna? E se as Torres fossem diferentes?
Passo 1
O enunciado pede duas contagens sobre colocar
torres num tabuleiro
com a condição de que não haja duas torres na mesma linha nem na mesma coluna. As informações relevantes são:
- O tabuleiro tem
linhas e colunas. - Colocamos exatamente
torres. - A condição “não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna” implica que cada torre ocupa uma linha distinta e uma coluna distinta. Como há
torres e linhas, não podem sobrar linhas sem torre (cada torre ocupa uma linha distinta), então há exatamente uma torre em cada linha; o mesmo vale para as colunas.
As duas questões separadas são:
- Quantos modos se isso for feito com torres idênticas (indistinguíveis)?
- Quantos modos se as torres forem todas diferentes (distinguíveis, rotuladas)?
Passo 2
Entendendo o problema com um exemplo menor (didático): num tabuleiro
com
torres sem duas na mesma linha/coluna, a configuração é dada por escolher, para cada linha, em qual coluna a torre ficará. Para
linhas as escolhas possíveis por linha (sem repetir colunas) são
, e listando você vê que há
arranjos. Isso ajuda a visualizar: cada arranjo corresponde a uma permutação das colunas quando indexamos as linhas de
a
.
Agora generalizamos para
. Podemos indexar as linhas por
. Para cada linha
escolhemos uma coluna
tal que todas as
sejam distintas. Assim um arranjo é exatamente uma função bijetora das linhas para as colunas, ou seja, uma permutação de
elementos.
Definição útil: o fatorial
é o produto dos inteiros de
até
:
Ele conta o número de permutações de
objetos distintos.
Passo 3
Contagem quando as torres são idênticas (indistinguíveis):
- Cada configuração válida corresponde a uma permutação das colunas atribuída às
linhas. - O número de permutações de
elementos é .
Vamos calcularpasso a passo (sem pular etapas):
Portanto, se as torres são idênticas, existem
modos.
Passo 4
Contagem quando as torres são diferentes (distinguíveis):
- Primeiro escolher as
casas (uma por linha e por coluna) corresponde a escolher uma permutação das colunas: escolhas. - Depois, como as torres são distintas, para cada escolha de
casas distintas devemos atribuir qual torre vai para qual casa. Isso é uma permutação das torres entre as casas, ou seja, mais um fator de . - Pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos os fatores: total
.
Calculemos numericamente:
Uma forma prática de calcular é decompor:
Agora:
somando:
Logo, se as torres forem diferentes, existem
modos.
Passo 5
Resumo da lógica para memorizar e usar na prova:
- Com
linhas e colunas e torres sem repetir linha/coluna, cada arranjo corresponde a uma permutação das colunas → para peças idênticas. - Se as peças forem distintas, multiplica-se por
novamente para atribuir rótulos às posições → . - Aqui
, então as respostas são e . Força aí — esse padrão aparece muito em problemas do tipo “uma em cada linha/coluna”!
Resposta
Torres idênticas:
Torres diferentes:
Torres diferentes: