Num baralho padrão de 52 cartas, dois eventos são definidos:
V : A carta é Vermelha (Ouros ou Copas).
R : A carta é um Rei.
Calcule as seguintes probabilidades:
(a) P(V) e P(R).
(b) P(V \cap R).
(c) P(V \cup R).
(d) P(R \mid V).
(e) P\left(R^{c} \mid V\right).

Passo 1

O enunciado: num baralho padrão de 52 cartas definem-se os eventos
V:\text{ a carta é Vermelha (Ouros ou Copas)}é
R:\text{ a carta é um Rei}é
Perguntas pedidas:
(a) Calcular P(V) e P(R).
(b) Calcular P(V\cap R).
(c) Calcular P(V\cup R).
(d) Calcular P(R\mid V).
(e) Calcular P\bigl(R^{c}\mid V\bigr).
Informações úteis do enunciado que vamos usar: o baralho tem \,52\, cartas; cada naipe tem \,13\, cartas; há \,4\, reis no total; os naipes vermelhos são Copas e Ouros (dois naipes).

Passo 2

Regra básica que vamos aplicar: quando todas as cartas são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de resultados favoráveis}}{\text{nº total de resultados}}.ºáº
Explicando: o numerador é quantas cartas satisfazem a condição pedida; o denominador é 52, total de cartas. Esta é a fórmula que usaremos para (a), (b) e (c) (junto com a fórmula da união). Para condicional usaremos a definição:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Isso significa: a probabilidade de A dado que B ocorreu é a fração das ocorrências de B que também satisfazem A.

Passo 3

Calcular P(V).
Contagem: há dois naipes vermelhos (Copas e Ouros), cada naipe tem 13 cartas, então o total de cartas vermelhas é
\text{favoráveis a }V=13+13=26.á
Aplicando a fórmula da probabilidade:
P(V)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}.
Intuição: metade do baralho é vermelho.

Passo 4

Calcular P(R).
Contagem: existem 4 reis no baralho (um em cada naipe), logo
P(R)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}.
Explicação rápida: só 4 cartas entre 52 são reis.

Passo 5

Calcular P(V\cap R) (probabilidade de a carta ser ao mesmo tempo vermelha e um rei).
Contagem: os reis vermelhos são o Rei de Copas e o Rei de Ouros, ou seja, 2 cartas. Assim
P(V\cap R)=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}.
Observação: isto também é usado depois para condicional.

Passo 6

Calcular P(V\cup R) (probabilidade de a carta ser vermelha ou um rei, ou ambos).
Usamos a fórmula da união:
P(V\cup R)=P(V)+P(R)-P(V\cap R).
Substituindo os valores que já achamos:
P(V\cup R)=\frac{1}{2}+\frac{1}{13}-\frac{1}{26}.
Vamos somar com denominador comum 26:
\frac{1}{2}=\frac{13}{26},\qquad \frac{1}{13}=\frac{2}{26},\qquad \frac{1}{26}=\frac{1}{26}.
Então
P(V\cup R)=\frac{13}{26}+\frac{2}{26}-\frac{1}{26}=\frac{14}{26}=\frac{7}{13}.
Intuição: a união conta todas as cartas vermelhas e ainda os reis pretos (dois reis pretos), com ajuste para não contar duas vezes os reis vermelhos.

Passo 7

Calcular P(R\mid V) (probabilidade de ser rei sabendo que a carta é vermelha).
Usamos a definição de probabilidade condicional:
P(R\mid V)=\frac{P(R\cap V)}{P(V)}.
Substituindo os valores:
P(R\mid V)=\frac{\tfrac{1}{26}}{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{26}\cdot\frac{2}{1}=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}.
Interpretação mais direta (contagem): entre as 26 cartas vermelhas, há exatamente 2 reis, logo a chance é 2/26=1/13.

Passo 8

Calcular P\bigl(R^{c}\mid V\bigr) (probabilidade de não ser rei dado que é vermelha).
Usamos a relação com o complementar:
P\bigl(R^{c}\mid V\bigr)=1-P(R\mid V).
Como P(R\mid V)=\tfrac{1}{13}, temos
P\bigl(R^{c}\mid V\bigr)=1-\frac{1}{13}=\frac{12}{13}.
Interpretação: entre as 26 cartas vermelhas, 24 não são reis, então 24/26=12/13.

Resposta

(a) P(V)=\dfrac{1}{2}, P(R)=\dfrac{1}{13}
(b) P(V\cap R)=\dfrac{1}{26}
(c) P(V\cup R)=\dfrac{7}{13}
(d) P(R\mid V)=\dfrac{1}{13}
(e) P\bigl(R^{c}\mid V\bigr)=\dfrac{12}{13}

Exercícios relacionados