(a) Defina quando dois eventos
e
são ditos independentes.
(b) Defina quando
eventos
são ditos mutuamente independentes.
(c) Dê um contra-exemplo (com
) que mostre que independência par-a-par não implica independência mútua.
(b) Defina quando
(c) Dê um contra-exemplo (com
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Definir quando dois eventos
e são ditos independentes. - (b) Definir quando
eventos são ditos mutuamente independentes. - (c) Fornecer um contra-exemplo com
que mostre que independência par-a-par (pairwise) não implica independência mútua.
Não há outras informações dadas além dessas perguntas.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar algumas noções básicas de probabilidade que usaremos (passo-a-passo, sem pular etapas). Uma experiência aleatória tem um espaço amostral
e uma função
que dá probabilidades a eventos (subconjuntos de
). Para dois eventos
e
podemos formar a interseção
, que representa ocorrerem ambos. A probabilidade condicional de
dado que
ocorreu é definida por
desde que
. Essa fórmula diz na prática: “dentre os casos em que
ocorreu, qual a fração em que também ocorre
?” — isso é útil para entender independência.
Passo 3
Definição e equivalência para dois eventos (item (a)). Dizemos que dois eventos
e
são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Em fórmulas, a definição padrão é
Essa condição é equivalente (quando
) à igualdade das probabilidades condicionais
porque substituindo a definição de
obtemos
; se
então
. Expliquei isso para você poder ver as duas formas de reconhecer independência numa prova: por produto de probabilidades ou por igualdade da condicional.
Passo 4
Agora a definição para
eventos (item (b)). Para
eventos
dizemos que eles são mutuamente independentes (ou simplesmente independência mútua) quando cada interseção de qualquer subconjunto desses eventos tem probabilidade igual ao produto das probabilidades individuais. Formalmente:
para todo subconjunto não vazio com
vale
para todo subconjunto não vazio
Isso significa que é preciso verificar a condição para todos os pares, todos os triplos, todos os quartetos, etc., até o conjunto completo. Observe que a independência mútua implica automaticamente independência par-a-par, porque os casos com
são cobertos — mas o recíproco não é verdadeiro em geral.
Passo 5
Explicando a diferença com palavras simples e uma dica de prova: se você tem somente três eventos
e quer provar que são mutuamente independentes, precisa verificar quatro igualdades: as três igualdades para pares
e também a igualdade para o triplo
Muita gente esquece a última e por isso confunde pairwise com mutual.
Passo 6
Contra-exemplo concreto e clássico (item (c)). Vamos usar duas moedas justas lançadas (a construção é simples de montar na prova e fácil de calcular). O espaço amostral é
cada ponto com probabilidade
(moedas justas, resultados equiprováveis). Definimos os três eventos
Vou calcular passo a passo as probabilidades necessárias.
Passo 7
Calcule as probabilidades individuais:
Agora as interseções de pares:
Compare cada uma com o produto das marginais:
Portanto todas as três igualdades para pares são satisfeitas: os eventos são independentes par-a-par.
Passo 8
Agora calcule a interseção dos três:
Mas o produto das três probabilidades é
Como
, a igualdade exigida para independência mútua falha. Assim,
são pairwise independentes, mas não são mutuamente independentes. Esse é o contra-exemplo pedido.
Passo 9
Interpretação final e dica para prova: a intuição é que embora cada par não “influence” diretamente a probabilidade do outro, quando você condiciona em dois eventos ao mesmo tempo pode aparecer uma dependência residual (a relação de terceira ordem). Dica prática: para
sempre verifique as três condições de pares e a condição do triplo; para geral, verifique todas as interseções de tamanho
.
Resposta
(a) Dois eventos
e
são independentes se
(equivalente, quando
, a
).
(b) Os eventos
são mutuamente independentes se, para todo subconjunto
com
, vale
(b) Os
(c) Contra-exemplo: lance duas moedas justas.
com
em cada ponto. Tome
,
,
. Então
, e
(pairwise independentes), mas
, logo não são mutuamente independentes.