(a) Defina quando dois eventos A e B são ditos independentes.
(b) Defina quando n eventos A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} são ditos mutuamente independentes.
(c) Dê um contra-exemplo (com n=3 ) que mostre que independência par-a-par não implica independência mútua.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Definir quando dois eventos A e B são ditos independentes.
  2. (b) Definir quando n eventos A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} são ditos mutuamente independentes.
  3. (c) Fornecer um contra-exemplo com n=3 que mostre que independência par-a-par (pairwise) não implica independência mútua.
    Não há outras informações dadas além dessas perguntas.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar algumas noções básicas de probabilidade que usaremos (passo-a-passo, sem pular etapas). Uma experiência aleatória tem um espaço amostral S e uma função P que dá probabilidades a eventos (subconjuntos de S). Para dois eventos A e B podemos formar a interseção A\cap B, que representa ocorrerem ambos. A probabilidade condicional de A dado que B ocorreu é definida por
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0. Essa fórmula diz na prática: “dentre os casos em que B ocorreu, qual a fração em que também ocorre A?” — isso é útil para entender independência.

Passo 3

Definição e equivalência para dois eventos (item (a)). Dizemos que dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Em fórmulas, a definição padrão é
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Essa condição é equivalente (quando P(B)>0) à igualdade das probabilidades condicionais
P(A\mid B)=P(A),
porque substituindo a definição de P(A\mid B) obtemos P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B); se P(A\mid B)=P(A) então P(A\cap B)=P(A)P(B). Expliquei isso para você poder ver as duas formas de reconhecer independência numa prova: por produto de probabilidades ou por igualdade da condicional.

Passo 4

Agora a definição para n eventos (item (b)). Para n eventos A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} dizemos que eles são mutuamente independentes (ou simplesmente independência mútua) quando cada interseção de qualquer subconjunto desses eventos tem probabilidade igual ao produto das probabilidades individuais. Formalmente:
para todo subconjunto não vazio I\subset\{1,2,\ldots,n\} com |I|\ge 2 vale
P\Big(\bigcap_{i\in I} A_i\Big)=\prod_{i\in I} P(A_i).
Isso significa que é preciso verificar a condição para todos os pares, todos os triplos, todos os quartetos, etc., até o conjunto completo. Observe que a independência mútua implica automaticamente independência par-a-par, porque os casos com |I|=2 são cobertos — mas o recíproco não é verdadeiro em geral.

Passo 5

Explicando a diferença com palavras simples e uma dica de prova: se você tem somente três eventos A,B,C e quer provar que são mutuamente independentes, precisa verificar quatro igualdades: as três igualdades para pares
P(A\cap B)=P(A)P(B),\quad P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},\quad P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)},
e também a igualdade para o triplo
P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.
Muita gente esquece a última e por isso confunde pairwise com mutual.

Passo 6

Contra-exemplo concreto e clássico (item (c)). Vamos usar duas moedas justas lançadas (a construção é simples de montar na prova e fácil de calcular). O espaço amostral é
S=\{HH,HT,TH,TT\},
cada ponto com probabilidade 1/4 (moedas justas, resultados equiprováveis). Definimos os três eventos
A=\{\text{primeira moeda é cara}\}=\{HH,HT\},é
B=\{\text{segunda moeda é cara}\}=\{HH,TH\},é
C=\{\text{as duas moedas dão o mesmo resultado}\}=\{HH,TT\}.ã
Vou calcular passo a passo as probabilidades necessárias.

Passo 7

Calcule as probabilidades individuais:
P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\qquad P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\qquad P\text{(C)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Agora as interseções de pares:
A\cap B=\{HH\}\Rightarrow P(A\cap B)=\frac{1}{4}.
A\cap C=\{HH\}\Rightarrow P(A\cap C)=\frac{1}{4}.
B\cap C=\{HH\}\Rightarrow P(B\cap C)=\frac{1}{4}.
Compare cada uma com o produto das marginais:
P(A)P(B)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4},
P(A)P\text{(C)}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4},
P(B)P\text{(C)}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
Portanto todas as três igualdades para pares são satisfeitas: os eventos são independentes par-a-par.

Passo 8

Agora calcule a interseção dos três:
A\cap B\cap C=\{HH\}\Rightarrow P(A\cap B\cap C)=\frac{1}{4}.
Mas o produto das três probabilidades é
P(A)P(B)P\text{(C)}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{8}.
Como \tfrac{1}{4}\neq \tfrac{1}{8}, a igualdade exigida para independência mútua falha. Assim, A,B,C são pairwise independentes, mas não são mutuamente independentes. Esse é o contra-exemplo pedido.

Passo 9

Interpretação final e dica para prova: a intuição é que embora cada par não “influence” diretamente a probabilidade do outro, quando você condiciona em dois eventos ao mesmo tempo pode aparecer uma dependência residual (a relação de terceira ordem). Dica prática: para n=3 sempre verifique as três condições de pares e a condição do triplo; para geral, verifique todas as interseções de tamanho \ge 2.

Resposta

(a) Dois eventos A e B são independentes se P(A\cap B)=P(A)P(B) (equivalente, quando P(B)>0, a P(A\mid B)=P(A)).
(b) Os n eventos A_{1},\ldots,A_{n} são mutuamente independentes se, para todo subconjunto I\subset\{1,\ldots,n\} com |I|\ge 2, vale
P\Big(\bigcap_{i\in I}A_i\Big)=\prod_{i\in I}P(A_i).
(c) Contra-exemplo: lance duas moedas justas. S=\{HH,HT,TH,TT\} com P(\cdot)=1/4 em cada ponto. Tome
A=\{HH,HT\}, B=\{HH,TH\}, C=\{HH,TT\}. Então P(A)=P(B)=P\text{(C)}=1/2, e
P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=1/4=P(A)P(B)=P(A)P\text{(C)}=P(B)P\text{(C)} (pairwise independentes), mas
P(A\cap B\cap C)=1/4\neq 1/8=P(A)P(B)P\text{(C)}, logo não são mutuamente independentes.

Exercícios relacionados